Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59293 / 85727
↖ ↑ ↗
← S 48.398209°
W 17.146911°		 ← 202.74 m → S 48.398209°
W 17.144165°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
S 48.400033°
W 17.146911°		 ← 202.74 m →
41 114 m²		 S 48.400033°
W 17.144165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452373504638672 y=0.654048919677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452373504638672 × 217)
    floor (0.452373504638672 × 131072)
    floor (59293.5)     		tx = 59293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654048919677734 × 217)
    floor (0.654048919677734 × 131072)
    floor (85727.5)     		ty = 85727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59293 / 85727 ti = "17/59293/85727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59293/85727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59293 ÷ 217
    59293 ÷ 131072     		x = 0.452369689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85727 ÷ 217
    85727 ÷ 131072     		y = 0.654045104980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452369689941406 × 2 - 1) × π
    -0.0952606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29927006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654045104980469 × 2 - 1) × π
    -0.308090209960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.967893940228554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29927006} λ = -0.29927006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967893940228554))-π/2
    2×atan(0.379882250939579)-π/2
    2×0.363044114399139-π/2
    0.726088228798278-1.57079632675     		φ = -0.84470810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29927006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.146911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84470810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.398209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59293 KachelY 85727 -0.29927006 -0.84470810 -17.146911 -48.398209
    Oben rechts KachelX + 1 59294 KachelY 85727 -0.29922213 -0.84470810 -17.144165 -48.398209
    Unten links KachelX 59293 KachelY + 1 85728 -0.29927006 -0.84473993 -17.146911 -48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 59294 KachelY + 1 85728 -0.29922213 -0.84473993 -17.144165 -48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84470810--0.84473993) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dl = 202.78893000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84470810--0.84473993) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dr = 202.78893000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29927006--0.29922213) × cos(-0.84470810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663949586974621 × 6371000     		do = 202.744993696356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29927006--0.29922213) × cos(-0.84473993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 202.737725442147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84470810)-sin(-0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663949586974621-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.29922213--0.29927006)×2.38020889774537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38020889774537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38020889774537e-05×40589641000000     		ar = 41113.7033772809m²