Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59293 / 38772
↖ ↑ ↗
← N 59.012284°
W 17.146911°		 ← 157.22 m → N 59.012284°
W 17.144165°		 →
↑
157.24 m
↓
↑
157.24 m
↓
N 59.010870°
W 17.146911°		 ← 157.22 m →
24 721 m²		 N 59.010870°
W 17.144165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452373504638672 y=0.295810699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452373504638672 × 217)
    floor (0.452373504638672 × 131072)
    floor (59293.5)     		tx = 59293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295810699462891 × 217)
    floor (0.295810699462891 × 131072)
    floor (38772.5)     		ty = 38772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59293 / 38772 ti = "17/59293/38772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59293/38772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59293 ÷ 217
    59293 ÷ 131072     		x = 0.452369689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38772 ÷ 217
    38772 ÷ 131072     		y = 0.295806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452369689941406 × 2 - 1) × π
    -0.0952606201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29927006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295806884765625 × 2 - 1) × π
    0.40838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28298318143118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29927006} λ = -0.29927006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28298318143118))-π/2
    2×atan(3.60738517425577)-π/2
    2×1.30037749474759-π/2
    2.60075498949517-1.57079632675     		φ = 1.02995866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29927006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.146911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02995866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.012284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59293 KachelY 38772 -0.29927006 1.02995866 -17.146911 59.012284
    Oben rechts KachelX + 1 59294 KachelY 38772 -0.29922213 1.02995866 -17.144165 59.012284
    Unten links KachelX 59293 KachelY + 1 38773 -0.29927006 1.02993398 -17.146911 59.010870
    Unten rechts KachelX + 1 59294 KachelY + 1 38773 -0.29922213 1.02993398 -17.144165 59.010870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02995866-1.02993398) × R
    2.46799999998881e-05 × 6371000     		dl = 157.236279999287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02995866-1.02993398) × R
    2.46799999998881e-05 × 6371000     		dr = 157.236279999287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29927006--0.29922213) × cos(1.02995866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.514854285270247 × 6371000     		do = 157.216949704418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29927006--0.29922213) × cos(1.02993398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.514875442727225 × 6371000     		du = 157.22341038843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02995866)-sin(1.02993398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514854285270247-0.514875442727225)×R²
    abs(-0.29922213--0.29927006)×2.11574569785045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11574569785045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11574569785045e-05×40589641000000     		ar = 24720.7162524307m²