Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59292 / 86117
↖ ↑ ↗
← S 49.104444°
W 17.149658°		 ← 199.96 m → S 49.104444°
W 17.146911°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 49.106242°
W 17.149658°		 ← 199.95 m →
39 975 m²		 S 49.106242°
W 17.146911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452365875244141 y=0.657024383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452365875244141 × 217)
    floor (0.452365875244141 × 131072)
    floor (59292.5)     		tx = 59292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657024383544922 × 217)
    floor (0.657024383544922 × 131072)
    floor (86117.5)     		ty = 86117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59292 / 86117 ti = "17/59292/86117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59292/86117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59292 ÷ 217
    59292 ÷ 131072     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86117 ÷ 217
    86117 ÷ 131072     		y = 0.657020568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657020568847656 × 2 - 1) × π
    -0.314041137695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.986589331080376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986589331080376))-π/2
    2×atan(0.372846179765645)-π/2
    2×0.356881053717166-π/2
    0.713762107434331-1.57079632675     		φ = -0.85703422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85703422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.104444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59292 KachelY 86117 -0.29931800 -0.85703422 -17.149658 -49.104444
    Oben rechts KachelX + 1 59293 KachelY 86117 -0.29927006 -0.85703422 -17.146911 -49.104444
    Unten links KachelX 59292 KachelY + 1 86118 -0.29931800 -0.85706560 -17.149658 -49.106242
    Unten rechts KachelX + 1 59293 KachelY + 1 86118 -0.29927006 -0.85706560 -17.146911 -49.106242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85703422--0.85706560) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85703422--0.85706560) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29927006) × cos(-0.85703422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654682189816042 × 6371000     		do = 199.956792289254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29927006) × cos(-0.85706560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.654658469218446 × 6371000     		du = 199.94954740818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85703422)-sin(-0.85706560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654682189816042-0.654658469218446)×R²
    abs(-0.29927006--0.29931800)×2.37205975951449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37205975951449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37205975951449e-05×40589641000000     		ar = 39975.0336267673m²