Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59292 / 85781
↖ ↑ ↗
← S 48.496588°
W 17.149658°		 ← 202.39 m → S 48.496588°
W 17.146911°		 →
↑
202.41 m
↓
↑
202.41 m
↓
S 48.498408°
W 17.149658°		 ← 202.39 m →
40 965 m²		 S 48.498408°
W 17.146911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452365875244141 y=0.654460906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452365875244141 × 217)
    floor (0.452365875244141 × 131072)
    floor (59292.5)     		tx = 59292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654460906982422 × 217)
    floor (0.654460906982422 × 131072)
    floor (85781.5)     		ty = 85781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59292 / 85781 ti = "17/59292/85781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59292/85781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59292 ÷ 217
    59292 ÷ 131072     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85781 ÷ 217
    85781 ÷ 131072     		y = 0.654457092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654457092285156 × 2 - 1) × π
    -0.308914184570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.970482532808037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970482532808037))-π/2
    2×atan(0.378900162225897)-π/2
    2×0.362185598511406-π/2
    0.724371197022812-1.57079632675     		φ = -0.84642513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84642513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.496588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59292 KachelY 85781 -0.29931800 -0.84642513 -17.149658 -48.496588
    Oben rechts KachelX + 1 59293 KachelY 85781 -0.29927006 -0.84642513 -17.146911 -48.496588
    Unten links KachelX 59292 KachelY + 1 85782 -0.29931800 -0.84645690 -17.149658 -48.498408
    Unten rechts KachelX + 1 59293 KachelY + 1 85782 -0.29927006 -0.84645690 -17.146911 -48.498408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84642513--0.84645690) × R
    3.17699999999865e-05 × 6371000     		dl = 202.406669999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84642513--0.84645690) × R
    3.17699999999865e-05 × 6371000     		dr = 202.406669999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29927006) × cos(-0.84642513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662664652759107 × 6371000     		do = 202.394841940661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29927006) × cos(-0.84645690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662640859355245 × 6371000     		du = 202.387574822679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84642513)-sin(-0.84645690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662664652759107-0.662640859355245)×R²
    abs(-0.29927006--0.29931800)×2.37934038628262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37934038628262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37934038628262e-05×40589641000000     		ar = 40965.3305292857m²