Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59292 / 59606
↖ ↑ ↗
← S 81.273387°
E145.700684°		 ← 92.67 m → S 81.273387°
E145.706176°		 →
↑
92.70 m
↓
↑
92.70 m
↓
S 81.274220°
E145.700684°		 ← 92.66 m →
8 590 m²		 S 81.274220°
E145.706176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904731750488281 y=0.909523010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904731750488281 × 216)
    floor (0.904731750488281 × 65536)
    floor (59292.5)     		tx = 59292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909523010253906 × 216)
    floor (0.909523010253906 × 65536)
    floor (59606.5)     		ty = 59606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59292 / 59606 ti = "16/59292/59606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59292/59606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59292 ÷ 216
    59292 ÷ 65536     		x = 0.90472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59606 ÷ 216
    59606 ÷ 65536     		y = 0.909515380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90472412109375 × 2 - 1) × π
    0.8094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54295665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.81903076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57306102400613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54295665} λ = 2.54295665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57306102400613))-π/2
    2×atan(0.0763016264804462)-π/2
    2×0.0761540671359326-π/2
    0.152308134271865-1.57079632675     		φ = -1.41848819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54295665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.700684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41848819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.273387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59292 KachelY 59606 2.54295665 -1.41848819 145.700684 -81.273387
    Oben rechts KachelX + 1 59293 KachelY 59606 2.54305252 -1.41848819 145.706176 -81.273387
    Unten links KachelX 59292 KachelY + 1 59607 2.54295665 -1.41850274 145.700684 -81.274220
    Unten rechts KachelX + 1 59293 KachelY + 1 59607 2.54305252 -1.41850274 145.706176 -81.274220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41848819--1.41850274) × R
    1.45500000001686e-05 × 6371000     		dl = 92.6980500010741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41848819--1.41850274) × R
    1.45500000001686e-05 × 6371000     		dr = 92.6980500010741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54295665-2.54305252) × cos(-1.41848819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151719951288585 × 6371000     		do = 92.6686907120617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54295665-2.54305252) × cos(-1.41850274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151705569710299 × 6371000     		du = 92.6599066199311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41848819)-sin(-1.41850274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151719951288585-0.151705569710299)×R²
    abs(2.54305252-2.54295665)×1.4381578286371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4381578286371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4381578286371e-05×40589641000000     		ar = 8589.79979134785m²