Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59292 / 45405
↖ ↑ ↗
← N 48.288676°
W 17.149658°		 ← 203.22 m → N 48.288676°
W 17.146911°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
N 48.286848°
W 17.149658°		 ← 203.23 m →
41 290 m²		 N 48.286848°
W 17.146911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452365875244141 y=0.346416473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452365875244141 × 217)
    floor (0.452365875244141 × 131072)
    floor (59292.5)     		tx = 59292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346416473388672 × 217)
    floor (0.346416473388672 × 131072)
    floor (45405.5)     		ty = 45405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59292 / 45405 ti = "17/59292/45405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59292/45405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59292 ÷ 217
    59292 ÷ 131072     		x = 0.452362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45405 ÷ 217
    45405 ÷ 131072     		y = 0.346412658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452362060546875 × 2 - 1) × π
    -0.09527587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29931800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346412658691406 × 2 - 1) × π
    0.307174682617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.96501772625135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29931800} λ = -0.29931800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96501772625135))-π/2
    2×atan(2.6248341845327)-π/2
    2×1.20679635488856-π/2
    2.41359270977711-1.57079632675     		φ = 0.84279638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29931800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.149658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84279638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.288676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59292 KachelY 45405 -0.29931800 0.84279638 -17.149658 48.288676
    Oben rechts KachelX + 1 59293 KachelY 45405 -0.29927006 0.84279638 -17.146911 48.288676
    Unten links KachelX 59292 KachelY + 1 45406 -0.29931800 0.84276449 -17.149658 48.286848
    Unten rechts KachelX + 1 59293 KachelY + 1 45406 -0.29927006 0.84276449 -17.146911 48.286848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84279638-0.84276449) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84279638-0.84276449) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29931800--0.29927006) × cos(0.84279638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665377913735784 × 6371000     		do = 203.223541682275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29931800--0.29927006) × cos(0.84276449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.665401719495654 × 6371000     		du = 203.230812574099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84279638)-sin(0.84276449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665377913735784-0.665401719495654)×R²
    abs(-0.29927006--0.29931800)×2.38057598700436e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38057598700436e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38057598700436e-05×40589641000000     		ar = 41289.9074211405m²