Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59290 / 84630
↖ ↑ ↗
← S 46.358302°
W 17.155152°		 ← 210.79 m → S 46.358302°
W 17.152405°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 46.360198°
W 17.155152°		 ← 210.78 m →
44 423 m²		 S 46.360198°
W 17.152405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452350616455078 y=0.645679473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452350616455078 × 217)
    floor (0.452350616455078 × 131072)
    floor (59290.5)     		tx = 59290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645679473876953 × 217)
    floor (0.645679473876953 × 131072)
    floor (84630.5)     		ty = 84630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59290 / 84630 ti = "17/59290/84630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59290/84630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59290 ÷ 217
    59290 ÷ 131072     		x = 0.452346801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84630 ÷ 217
    84630 ÷ 131072     		y = 0.645675659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452346801757812 × 2 - 1) × π
    -0.095306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29941388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645675659179688 × 2 - 1) × π
    -0.291351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915307161345352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29941388} λ = -0.29941388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915307161345352))-π/2
    2×atan(0.400393621757168)-π/2
    2×0.380845660148908-π/2
    0.761691320297817-1.57079632675     		φ = -0.80910501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29941388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.155152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80910501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.358302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59290 KachelY 84630 -0.29941388 -0.80910501 -17.155152 -46.358302
    Oben rechts KachelX + 1 59291 KachelY 84630 -0.29936594 -0.80910501 -17.152405 -46.358302
    Unten links KachelX 59290 KachelY + 1 84631 -0.29941388 -0.80913809 -17.155152 -46.360198
    Unten rechts KachelX + 1 59291 KachelY + 1 84631 -0.29936594 -0.80913809 -17.152405 -46.360198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80910501--0.80913809) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80910501--0.80913809) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29941388--0.29936594) × cos(-0.80910501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		do = 210.788470804231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29941388--0.29936594) × cos(-0.80913809) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.690122447122582 × 6371000     		du = 210.781159103131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80910501)-sin(-0.80913809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690146386496845-0.690122447122582)×R²
    abs(-0.29936594--0.29941388)×2.39393742633709e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39393742633709e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39393742633709e-05×40589641000000     		ar = 44423.4646588006m²