Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59290 / 38777
↖ ↑ ↗
← N 59.005213°
W 17.155152°		 ← 157.28 m → N 59.005213°
W 17.152405°		 →
↑
157.30 m
↓
↑
157.30 m
↓
N 59.003799°
W 17.155152°		 ← 157.29 m →
24 741 m²		 N 59.003799°
W 17.152405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452350616455078 y=0.295848846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452350616455078 × 217)
    floor (0.452350616455078 × 131072)
    floor (59290.5)     		tx = 59290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295848846435547 × 217)
    floor (0.295848846435547 × 131072)
    floor (38777.5)     		ty = 38777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59290 / 38777 ti = "17/59290/38777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59290/38777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59290 ÷ 217
    59290 ÷ 131072     		x = 0.452346801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38777 ÷ 217
    38777 ÷ 131072     		y = 0.295845031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452346801757812 × 2 - 1) × π
    -0.095306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29941388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295845031738281 × 2 - 1) × π
    0.408309936523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.28274349693308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29941388} λ = -0.29941388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28274349693308))-π/2
    2×atan(3.60652064356227)-π/2
    2×1.30031578711303-π/2
    2.60063157422607-1.57079632675     		φ = 1.02983525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29941388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.155152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02983525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.005213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59290 KachelY 38777 -0.29941388 1.02983525 -17.155152 59.005213
    Oben rechts KachelX + 1 59291 KachelY 38777 -0.29936594 1.02983525 -17.152405 59.005213
    Unten links KachelX 59290 KachelY + 1 38778 -0.29941388 1.02981056 -17.155152 59.003799
    Unten rechts KachelX + 1 59291 KachelY + 1 38778 -0.29936594 1.02981056 -17.152405 59.003799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02983525-1.02981056) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dl = 157.299990000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02983525-1.02981056) × R
    2.46900000000494e-05 × 6371000     		dr = 157.299990000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29941388--0.29936594) × cos(1.02983525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514960077991034 × 6371000     		do = 157.282062890948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29941388--0.29936594) × cos(1.02981056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514981242451712 × 6371000     		du = 157.288527062012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02983525)-sin(1.02981056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514960077991034-0.514981242451712)×R²
    abs(-0.29936594--0.29941388)×2.11644606779027e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11644606779027e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11644606779027e-05×40589641000000     		ar = 24740.9753283671m²