Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59288 / 84646
↖ ↑ ↗
← S 46.388623°
W 17.160645°		 ← 210.67 m → S 46.388623°
W 17.157898°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 46.390517°
W 17.160645°		 ← 210.66 m →
44 372 m²		 S 46.390517°
W 17.157898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452335357666016 y=0.645801544189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452335357666016 × 217)
    floor (0.452335357666016 × 131072)
    floor (59288.5)     		tx = 59288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645801544189453 × 217)
    floor (0.645801544189453 × 131072)
    floor (84646.5)     		ty = 84646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59288 / 84646 ti = "17/59288/84646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59288/84646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59288 ÷ 217
    59288 ÷ 131072     		x = 0.45233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84646 ÷ 217
    84646 ÷ 131072     		y = 0.645797729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.0953369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29950975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645797729492188 × 2 - 1) × π
    -0.291595458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.916074151739273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29950975} λ = -0.29950975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916074151739273))-π/2
    2×atan(0.400086641436021)-π/2
    2×0.380581065773922-π/2
    0.761162131547845-1.57079632675     		φ = -0.80963420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29950975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.160645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80963420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.388623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59288 KachelY 84646 -0.29950975 -0.80963420 -17.160645 -46.388623
    Oben rechts KachelX + 1 59289 KachelY 84646 -0.29946181 -0.80963420 -17.157898 -46.388623
    Unten links KachelX 59288 KachelY + 1 84647 -0.29950975 -0.80966726 -17.160645 -46.390517
    Unten rechts KachelX + 1 59289 KachelY + 1 84647 -0.29946181 -0.80966726 -17.157898 -46.390517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80963420--0.80966726) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80963420--0.80966726) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29950975--0.29946181) × cos(-0.80963420) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689763331063455 × 6371000     		do = 210.671475815026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29950975--0.29946181) × cos(-0.80966726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689739394092478 × 6371000     		du = 210.664164847952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80963420)-sin(-0.80966726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689763331063455-0.689739394092478)×R²
    abs(-0.29946181--0.29950975)×2.39369709770232e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39369709770232e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39369709770232e-05×40589641000000     		ar = 44371.9644351638m²