Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59287 / 85783
↖ ↑ ↗
← S 48.500228°
W 17.163391°		 ← 202.38 m → S 48.500228°
W 17.160645°		 →
↑
202.34 m
↓
↑
202.34 m
↓
S 48.502047°
W 17.163391°		 ← 202.37 m →
40 949 m²		 S 48.502047°
W 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452327728271484 y=0.654476165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452327728271484 × 217)
    floor (0.452327728271484 × 131072)
    floor (59287.5)     		tx = 59287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654476165771484 × 217)
    floor (0.654476165771484 × 131072)
    floor (85783.5)     		ty = 85783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59287 / 85783 ti = "17/59287/85783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59287/85783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59287 ÷ 217
    59287 ÷ 131072     		x = 0.452323913574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85783 ÷ 217
    85783 ÷ 131072     		y = 0.654472351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452323913574219 × 2 - 1) × π
    -0.0953521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29955769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654472351074219 × 2 - 1) × π
    -0.308944702148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.970578406607277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29955769} λ = -0.29955769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970578406607277))-π/2
    2×atan(0.378863837369141)-π/2
    2×0.362153833562877-π/2
    0.724307667125753-1.57079632675     		φ = -0.84648866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29955769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.163391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84648866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.500228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59287 KachelY 85783 -0.29955769 -0.84648866 -17.163391 -48.500228
    Oben rechts KachelX + 1 59288 KachelY 85783 -0.29950975 -0.84648866 -17.160645 -48.500228
    Unten links KachelX 59287 KachelY + 1 85784 -0.29955769 -0.84652042 -17.163391 -48.502047
    Unten rechts KachelX + 1 59288 KachelY + 1 85784 -0.29950975 -0.84652042 -17.160645 -48.502047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84648866--0.84652042) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dl = 202.342960000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84648866--0.84652042) × R
    3.17600000000473e-05 × 6371000     		dr = 202.342960000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29955769--0.29950975) × cos(-0.84648866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66261707277214 × 6371000     		do = 202.380309787932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29955769--0.29950975) × cos(-0.84652042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.662593285520656 × 6371000     		du = 202.373044549045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84648866)-sin(-0.84652042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66261707277214-0.662593285520656)×R²
    abs(-0.29950975--0.29955769)×2.37872514846638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37872514846638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37872514846638e-05×40589641000000     		ar = 40949.4958968554m²