Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59287 / 84647
↖ ↑ ↗
← S 46.390517°
W 17.163391°		 ← 210.66 m → S 46.390517°
W 17.160645°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 46.392411°
W 17.163391°		 ← 210.66 m →
44 370 m²		 S 46.392411°
W 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452327728271484 y=0.645809173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452327728271484 × 217)
    floor (0.452327728271484 × 131072)
    floor (59287.5)     		tx = 59287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645809173583984 × 217)
    floor (0.645809173583984 × 131072)
    floor (84647.5)     		ty = 84647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59287 / 84647 ti = "17/59287/84647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59287/84647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59287 ÷ 217
    59287 ÷ 131072     		x = 0.452323913574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84647 ÷ 217
    84647 ÷ 131072     		y = 0.645805358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452323913574219 × 2 - 1) × π
    -0.0953521728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29955769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645805358886719 × 2 - 1) × π
    -0.291610717773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.916122088638893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29955769} λ = -0.29955769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916122088638893))-π/2
    2×atan(0.400067462982533)-π/2
    2×0.380564533502964-π/2
    0.761129067005928-1.57079632675     		φ = -0.80966726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29955769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.163391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80966726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.390517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59287 KachelY 84647 -0.29955769 -0.80966726 -17.163391 -46.390517
    Oben rechts KachelX + 1 59288 KachelY 84647 -0.29950975 -0.80966726 -17.160645 -46.390517
    Unten links KachelX 59287 KachelY + 1 84648 -0.29955769 -0.80970032 -17.163391 -46.392411
    Unten rechts KachelX + 1 59288 KachelY + 1 84648 -0.29950975 -0.80970032 -17.160645 -46.392411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80966726--0.80970032) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80966726--0.80970032) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29955769--0.29950975) × cos(-0.80966726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689739394092478 × 6371000     		do = 210.664164847709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29955769--0.29950975) × cos(-0.80970032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689715456367641 × 6371000     		du = 210.656853650386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80966726)-sin(-0.80970032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689739394092478-0.689715456367641)×R²
    abs(-0.29950975--0.29955769)×2.39377248372197e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39377248372197e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39377248372197e-05×40589641000000     		ar = 44370.4245362559m²