Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59287 / 59578
↖ ↑ ↗
← S 81.250020°
E145.673218°		 ← 92.92 m → S 81.250020°
E145.678711°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 81.250856°
E145.673218°		 ← 92.92 m →
8 637 m²		 S 81.250856°
E145.678711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904655456542969 y=0.909095764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904655456542969 × 216)
    floor (0.904655456542969 × 65536)
    floor (59287.5)     		tx = 59287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909095764160156 × 216)
    floor (0.909095764160156 × 65536)
    floor (59578.5)     		ty = 59578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59287 / 59578 ti = "16/59287/59578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59287/59578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59287 ÷ 216
    59287 ÷ 65536     		x = 0.904647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59578 ÷ 216
    59578 ÷ 65536     		y = 0.909088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904647827148438 × 2 - 1) × π
    0.809295654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54247728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909088134765625 × 2 - 1) × π
    -0.81817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57037655762741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54247728} λ = 2.54247728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57037655762741))-π/2
    2×atan(0.0765067308060366)-π/2
    2×0.0763579810930119-π/2
    0.152715962186024-1.57079632675     		φ = -1.41808036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54247728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41808036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.250020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59287 KachelY 59578 2.54247728 -1.41808036 145.673218 -81.250020
    Oben rechts KachelX + 1 59288 KachelY 59578 2.54257316 -1.41808036 145.678711 -81.250020
    Unten links KachelX 59287 KachelY + 1 59579 2.54247728 -1.41809495 145.673218 -81.250856
    Unten rechts KachelX + 1 59288 KachelY + 1 59579 2.54257316 -1.41809495 145.678711 -81.250856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41808036--1.41809495) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41808036--1.41809495) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54247728-2.54257316) × cos(-1.41808036) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152123047424446 × 6371000     		do = 92.9245886612723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54247728-2.54257316) × cos(-1.41809495) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152108627213057 × 6371000     		du = 92.9157800538035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41808036)-sin(-1.41809495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152123047424446-0.152108627213057)×R²
    abs(2.54257316-2.54247728)×1.44202113889491e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44202113889491e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44202113889491e-05×40589641000000     		ar = 8637.19967545303m²