Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59285 / 84649
↖ ↑ ↗
← S 46.394306°
W 17.168884°		 ← 210.65 m → S 46.394306°
W 17.166138°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 46.396200°
W 17.168884°		 ← 210.64 m →
44 367 m²		 S 46.396200°
W 17.166138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452312469482422 y=0.645824432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452312469482422 × 217)
    floor (0.452312469482422 × 131072)
    floor (59285.5)     		tx = 59285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645824432373047 × 217)
    floor (0.645824432373047 × 131072)
    floor (84649.5)     		ty = 84649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59285 / 84649 ti = "17/59285/84649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59285/84649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59285 ÷ 217
    59285 ÷ 131072     		x = 0.452308654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84649 ÷ 217
    84649 ÷ 131072     		y = 0.645820617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452308654785156 × 2 - 1) × π
    -0.0953826904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29965356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645820617675781 × 2 - 1) × π
    -0.291641235351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.916217962438133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29965356} λ = -0.29965356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916217962438133))-π/2
    2×atan(0.400029108833513)-π/2
    2×0.380531470682476-π/2
    0.761062941364952-1.57079632675     		φ = -0.80973339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29965356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.168884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80973339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.394306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59285 KachelY 84649 -0.29965356 -0.80973339 -17.168884 -46.394306
    Oben rechts KachelX + 1 59286 KachelY 84649 -0.29960562 -0.80973339 -17.166138 -46.394306
    Unten links KachelX 59285 KachelY + 1 84650 -0.29965356 -0.80976645 -17.168884 -46.396200
    Unten rechts KachelX + 1 59286 KachelY + 1 84650 -0.29960562 -0.80976645 -17.166138 -46.396200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80973339--0.80976645) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80973339--0.80976645) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29965356--0.29960562) × cos(-0.80973339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689691510647936 × 6371000     		do = 210.649540011226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29965356--0.29960562) × cos(-0.80976645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68966757141523 × 6371000     		du = 210.642228353361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80973339)-sin(-0.80976645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689691510647936-0.68966757141523)×R²
    abs(-0.29960562--0.29965356)×2.39392327067156e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39392327067156e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39392327067156e-05×40589641000000     		ar = 44367.344128029m²