Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59284 / 45492
↖ ↑ ↗
← N 48.129435°
W 17.171631°		 ← 203.86 m → N 48.129435°
W 17.168884°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 48.127601°
W 17.171631°		 ← 203.86 m →
41 561 m²		 N 48.127601°
W 17.168884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452304840087891 y=0.347080230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452304840087891 × 217)
    floor (0.452304840087891 × 131072)
    floor (59284.5)     		tx = 59284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347080230712891 × 217)
    floor (0.347080230712891 × 131072)
    floor (45492.5)     		ty = 45492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59284 / 45492 ti = "17/59284/45492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59284/45492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59284 ÷ 217
    59284 ÷ 131072     		x = 0.452301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45492 ÷ 217
    45492 ÷ 131072     		y = 0.347076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.09539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29970150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347076416015625 × 2 - 1) × π
    0.30584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.960847215984406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29970150} λ = -0.29970150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960847215984406))-π/2
    2×atan(2.61391008199169)-π/2
    2×1.20540671189284-π/2
    2.41081342378567-1.57079632675     		φ = 0.84001710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29970150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.171631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84001710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.129435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59284 KachelY 45492 -0.29970150 0.84001710 -17.171631 48.129435
    Oben rechts KachelX + 1 59285 KachelY 45492 -0.29965356 0.84001710 -17.168884 48.129435
    Unten links KachelX 59284 KachelY + 1 45493 -0.29970150 0.83998510 -17.171631 48.127601
    Unten rechts KachelX + 1 59285 KachelY + 1 45493 -0.29965356 0.83998510 -17.168884 48.127601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84001710-0.83998510) × R
    3.1999999999921e-05 × 6371000     		dl = 203.871999999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84001710-0.83998510) × R
    3.1999999999921e-05 × 6371000     		dr = 203.871999999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29970150--0.29965356) × cos(0.84001710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667450092346371 × 6371000     		do = 203.856438368061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29970150--0.29965356) × cos(0.83998510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667473920949703 × 6371000     		du = 203.863716236867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84001710)-sin(0.83998510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667450092346371-0.667473920949703)×R²
    abs(-0.29965356--0.29970150)×2.38286033326096e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38286033326096e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38286033326096e-05×40589641000000     		ar = 41561.3616832342m²