Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59283 / 85833
↖ ↑ ↗
← S 48.591142°
W 17.174377°		 ← 201.97 m → S 48.591142°
W 17.171631°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
S 48.592959°
W 17.174377°		 ← 201.97 m →
40 803 m²		 S 48.592959°
W 17.171631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452297210693359 y=0.654857635498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452297210693359 × 217)
    floor (0.452297210693359 × 131072)
    floor (59283.5)     		tx = 59283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654857635498047 × 217)
    floor (0.654857635498047 × 131072)
    floor (85833.5)     		ty = 85833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59283 / 85833 ti = "17/59283/85833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59283/85833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59283 ÷ 217
    59283 ÷ 131072     		x = 0.452293395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85833 ÷ 217
    85833 ÷ 131072     		y = 0.654853820800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452293395996094 × 2 - 1) × π
    -0.0954132080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29974943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654853820800781 × 2 - 1) × π
    -0.309707641601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.97297525158828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29974943} λ = -0.29974943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97297525158828))-π/2
    2×atan(0.377956846874079)-π/2
    2×0.361360451021623-π/2
    0.722720902043246-1.57079632675     		φ = -0.84807542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29974943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.174377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84807542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.591142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59283 KachelY 85833 -0.29974943 -0.84807542 -17.174377 -48.591142
    Oben rechts KachelX + 1 59284 KachelY 85833 -0.29970150 -0.84807542 -17.171631 -48.591142
    Unten links KachelX 59283 KachelY + 1 85834 -0.29974943 -0.84810713 -17.174377 -48.592959
    Unten rechts KachelX + 1 59284 KachelY + 1 85834 -0.29970150 -0.84810713 -17.171631 -48.592959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84807542--0.84810713) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84807542--0.84810713) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29974943--0.29970150) × cos(-0.84807542) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.661427821943396 × 6371000     		do = 201.974942407004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29974943--0.29970150) × cos(-0.84810713) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.661404038831045 × 6371000     		du = 201.967679947536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84807542)-sin(-0.84810713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661427821943396-0.661404038831045)×R²
    abs(-0.29970150--0.29974943)×2.37831123518495e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37831123518495e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37831123518495e-05×40589641000000     		ar = 40803.1349808799m²