Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59282 / 84636
↖ ↑ ↗
← S 46.369674°
W 17.177124°		 ← 210.74 m → S 46.369674°
W 17.174377°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.371569°
W 17.177124°		 ← 210.74 m →
44 401 m²		 S 46.371569°
W 17.174377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452289581298828 y=0.645725250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452289581298828 × 217)
    floor (0.452289581298828 × 131072)
    floor (59282.5)     		tx = 59282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645725250244141 × 217)
    floor (0.645725250244141 × 131072)
    floor (84636.5)     		ty = 84636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59282 / 84636 ti = "17/59282/84636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59282/84636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59282 ÷ 217
    59282 ÷ 131072     		x = 0.452285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84636 ÷ 217
    84636 ÷ 131072     		y = 0.645721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452285766601562 × 2 - 1) × π
    -0.095428466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29979737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.29144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915594782743072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29979737} λ = -0.29979737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915594782743072))-π/2
    2×atan(0.400278476543948)-π/2
    2×0.380746420043458-π/2
    0.761492840086917-1.57079632675     		φ = -0.80930349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29979737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.177124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80930349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.369674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59282 KachelY 84636 -0.29979737 -0.80930349 -17.177124 -46.369674
    Oben rechts KachelX + 1 59283 KachelY 84636 -0.29974943 -0.80930349 -17.174377 -46.369674
    Unten links KachelX 59282 KachelY + 1 84637 -0.29979737 -0.80933656 -17.177124 -46.371569
    Unten rechts KachelX + 1 59283 KachelY + 1 84637 -0.29974943 -0.80933656 -17.174377 -46.371569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80930349--0.80933656) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80930349--0.80933656) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29979737--0.29974943) × cos(-0.80930349) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.690002738923915 × 6371000     		do = 210.744597137969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29979737--0.29974943) × cos(-0.80933656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689978802257191 × 6371000     		du = 210.737286263822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80930349)-sin(-0.80933656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690002738923915-0.689978802257191)×R²
    abs(-0.29974943--0.29979737)×2.3936666724178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3936666724178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3936666724178e-05×40589641000000     		ar = 44400.7919476824m²