Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59281 / 84645
↖ ↑ ↗
← S 46.386728°
W 17.179871°		 ← 210.68 m → S 46.386728°
W 17.177124°		 →
↑
210.69 m
↓
↑
210.69 m
↓
S 46.388623°
W 17.179871°		 ← 210.67 m →
44 387 m²		 S 46.388623°
W 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452281951904297 y=0.645793914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452281951904297 × 217)
    floor (0.452281951904297 × 131072)
    floor (59281.5)     		tx = 59281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645793914794922 × 217)
    floor (0.645793914794922 × 131072)
    floor (84645.5)     		ty = 84645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59281 / 84645 ti = "17/59281/84645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59281/84645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59281 ÷ 217
    59281 ÷ 131072     		x = 0.452278137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84645 ÷ 217
    84645 ÷ 131072     		y = 0.645790100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452278137207031 × 2 - 1) × π
    -0.0954437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29984531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645790100097656 × 2 - 1) × π
    -0.291580200195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.916026214839653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29984531} λ = -0.29984531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916026214839653))-π/2
    2×atan(0.400105820808887)-π/2
    2×0.380597598618693-π/2
    0.761195197237385-1.57079632675     		φ = -0.80960113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29984531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.179871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80960113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.386728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59281 KachelY 84645 -0.29984531 -0.80960113 -17.179871 -46.386728
    Oben rechts KachelX + 1 59282 KachelY 84645 -0.29979737 -0.80960113 -17.177124 -46.386728
    Unten links KachelX 59281 KachelY + 1 84646 -0.29984531 -0.80963420 -17.179871 -46.388623
    Unten rechts KachelX + 1 59282 KachelY + 1 84646 -0.29979737 -0.80963420 -17.177124 -46.388623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80960113--0.80963420) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dl = 210.688969999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80960113--0.80963420) × R
    3.30699999999684e-05 × 6371000     		dr = 210.688969999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29984531--0.29979737) × cos(-0.80960113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689787274520667 × 6371000     		do = 210.67878876292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29984531--0.29979737) × cos(-0.80963420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689763331063455 × 6371000     		du = 210.671475814783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80960113)-sin(-0.80963420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689787274520667-0.689763331063455)×R²
    abs(-0.29979737--0.29984531)×2.39434572119057e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39434572119057e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39434572119057e-05×40589641000000     		ar = 44386.9266305071m²