Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59281 / 45487
↖ ↑ ↗
← N 48.138600°
W 17.179871°		 ← 203.82 m → N 48.138600°
W 17.177124°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 48.136767°
W 17.179871°		 ← 203.83 m →
41 541 m²		 N 48.136767°
W 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452281951904297 y=0.347042083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452281951904297 × 217)
    floor (0.452281951904297 × 131072)
    floor (59281.5)     		tx = 59281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347042083740234 × 217)
    floor (0.347042083740234 × 131072)
    floor (45487.5)     		ty = 45487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59281 / 45487 ti = "17/59281/45487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59281/45487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59281 ÷ 217
    59281 ÷ 131072     		x = 0.452278137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45487 ÷ 217
    45487 ÷ 131072     		y = 0.347038269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452278137207031 × 2 - 1) × π
    -0.0954437255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29984531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347038269042969 × 2 - 1) × π
    0.305923461914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.961086900482506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29984531} λ = -0.29984531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961086900482506))-π/2
    2×atan(2.61453667080659)-π/2
    2×1.2054866934751-π/2
    2.41097338695021-1.57079632675     		φ = 0.84017706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29984531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.179871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84017706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.138600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59281 KachelY 45487 -0.29984531 0.84017706 -17.179871 48.138600
    Oben rechts KachelX + 1 59282 KachelY 45487 -0.29979737 0.84017706 -17.177124 48.138600
    Unten links KachelX 59281 KachelY + 1 45488 -0.29984531 0.84014507 -17.179871 48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 59282 KachelY + 1 45488 -0.29979737 0.84014507 -17.177124 48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84017706-0.84014507) × R
    3.19899999999818e-05 × 6371000     		dl = 203.808289999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84017706-0.84014507) × R
    3.19899999999818e-05 × 6371000     		dr = 203.808289999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29984531--0.29979737) × cos(0.84017706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667330968868614 × 6371000     		do = 203.82005499148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29984531--0.29979737) × cos(0.84014507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 203.827331629068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84017706)-sin(0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667330968868614-0.667354793440794)×R²
    abs(-0.29979737--0.29984531)×2.38245721796426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38245721796426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38245721796426e-05×40589641000000     		ar = 41540.9583986441m²