Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59280 / 84579
↖ ↑ ↗
← S 46.261544°
W 17.182617°		 ← 211.12 m → S 46.261544°
W 17.179871°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
S 46.263443°
W 17.182617°		 ← 211.11 m →
44 573 m²		 S 46.263443°
W 17.179871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452274322509766 y=0.645290374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452274322509766 × 217)
    floor (0.452274322509766 × 131072)
    floor (59280.5)     		tx = 59280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645290374755859 × 217)
    floor (0.645290374755859 × 131072)
    floor (84579.5)     		ty = 84579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59280 / 84579 ti = "17/59280/84579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59280/84579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59280 ÷ 217
    59280 ÷ 131072     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84579 ÷ 217
    84579 ÷ 131072     		y = 0.645286560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645286560058594 × 2 - 1) × π
    -0.290573120117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.912862379464729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912862379464729))-π/2
    2×atan(0.401373694372489)-π/2
    2×0.381690035161668-π/2
    0.763380070323336-1.57079632675     		φ = -0.80741626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80741626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.261544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59280 KachelY 84579 -0.29989324 -0.80741626 -17.182617 -46.261544
    Oben rechts KachelX + 1 59281 KachelY 84579 -0.29984531 -0.80741626 -17.179871 -46.261544
    Unten links KachelX 59280 KachelY + 1 84580 -0.29989324 -0.80744940 -17.182617 -46.263443
    Unten rechts KachelX + 1 59281 KachelY + 1 84580 -0.29984531 -0.80744940 -17.179871 -46.263443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80741626--0.80744940) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80741626--0.80744940) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29984531) × cos(-0.80741626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691367499168199 × 6371000     		do = 211.117383022154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29984531) × cos(-0.80744940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691343555030049 × 6371000     		du = 211.110071391522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80741626)-sin(-0.80744940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691367499168199-0.691343555030049)×R²
    abs(-0.29984531--0.29989324)×2.39441381499894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39441381499894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39441381499894e-05×40589641000000     		ar = 44573.4841310577m²