Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5928 / 6952
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
W 49.746094°		 ← 2 190.86 m → N 26.273714°
W 49.724121°		 →
↑
2 191.05 m
↓
↑
2 191.05 m
↓
N 26.254010°
W 49.746094°		 ← 2 191.23 m →
4 800 698 m²		 N 26.254010°
W 49.724121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361846923828125 y=0.424346923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361846923828125 × 214)
    floor (0.361846923828125 × 16384)
    floor (5928.5)     		tx = 5928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424346923828125 × 214)
    floor (0.424346923828125 × 16384)
    floor (6952.5)     		ty = 6952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5928 / 6952 ti = "14/5928/6952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5928/6952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5928 ÷ 214
    5928 ÷ 16384     		x = 0.36181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6952 ÷ 214
    6952 ÷ 16384     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36181640625 × 2 - 1) × π
    -0.2763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.86823313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86823313} λ = -0.86823313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86823313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5928 KachelY 6952 -0.86823313 0.45856282 -49.746094 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 5929 KachelY 6952 -0.86784963 0.45856282 -49.724121 26.273714
    Unten links KachelX 5928 KachelY + 1 6953 -0.86823313 0.45821891 -49.746094 26.254010
    Unten rechts KachelX + 1 5929 KachelY + 1 6953 -0.86784963 0.45821891 -49.724121 26.254010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45821891) × R
    0.000343910000000003 × 6371000     		dl = 2191.05061000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45821891) × R
    0.000343910000000003 × 6371000     		dr = 2191.05061000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86823313--0.86784963) × cos(0.45856282) × R
    0.000383499999999981 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 2190.86243369123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86823313--0.86784963) × cos(0.45821891) × R
    0.000383499999999981 × 0.896841787376256 × 6371000     		du = 2191.23425699787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45821891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896841787376256)×R²
    abs(-0.86784963--0.86823313)×0.000152182121947009×R²
    0.000383499999999981×0.000152182121947009×6371000²
    0.000383499999999981×0.000152182121947009×40589641000000     		ar = 4800697.86092323m²