Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59278 / 84622
↖ ↑ ↗
← S 46.343135°
W 17.188110°		 ← 210.85 m → S 46.343135°
W 17.185364°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
S 46.345031°
W 17.188110°		 ← 210.84 m →
44 449 m²		 S 46.345031°
W 17.185364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452259063720703 y=0.645618438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452259063720703 × 217)
    floor (0.452259063720703 × 131072)
    floor (59278.5)     		tx = 59278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645618438720703 × 217)
    floor (0.645618438720703 × 131072)
    floor (84622.5)     		ty = 84622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59278 / 84622 ti = "17/59278/84622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59278/84622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59278 ÷ 217
    59278 ÷ 131072     		x = 0.452255249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84622 ÷ 217
    84622 ÷ 131072     		y = 0.645614624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452255249023438 × 2 - 1) × π
    -0.095489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29998912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645614624023438 × 2 - 1) × π
    -0.291229248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.914923666148392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29998912} λ = -0.29998912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914923666148392))-π/2
    2×atan(0.400547200234428)-π/2
    2×0.380978012424669-π/2
    0.761956024849339-1.57079632675     		φ = -0.80884030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29998912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.188110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80884030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.343135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59278 KachelY 84622 -0.29998912 -0.80884030 -17.188110 -46.343135
    Oben rechts KachelX + 1 59279 KachelY 84622 -0.29994118 -0.80884030 -17.185364 -46.343135
    Unten links KachelX 59278 KachelY + 1 84623 -0.29998912 -0.80887339 -17.188110 -46.345031
    Unten rechts KachelX + 1 59279 KachelY + 1 84623 -0.29994118 -0.80887339 -17.185364 -46.345031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80884030--0.80887339) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dl = 210.816390000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80884030--0.80887339) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dr = 210.816390000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29998912--0.29994118) × cos(-0.80884030) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.690337924945008 × 6371000     		do = 210.846971576499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29998912--0.29994118) × cos(-0.80887339) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.69031398437972 × 6371000     		du = 210.83965951163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80884030)-sin(-0.80887339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690337924945008-0.69031398437972)×R²
    abs(-0.29994118--0.29998912)×2.39405652882052e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39405652882052e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39405652882052e-05×40589641000000     		ar = 44449.2266429128m²