Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59277 / 84569
↖ ↑ ↗
← S 46.242552°
W 17.190857°		 ← 211.19 m → S 46.242552°
W 17.188110°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
S 46.244451°
W 17.190857°		 ← 211.18 m →
44 602 m²		 S 46.244451°
W 17.188110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452251434326172 y=0.645214080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452251434326172 × 217)
    floor (0.452251434326172 × 131072)
    floor (59277.5)     		tx = 59277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645214080810547 × 217)
    floor (0.645214080810547 × 131072)
    floor (84569.5)     		ty = 84569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59277 / 84569 ti = "17/59277/84569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59277/84569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59277 ÷ 217
    59277 ÷ 131072     		x = 0.452247619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84569 ÷ 217
    84569 ÷ 131072     		y = 0.645210266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452247619628906 × 2 - 1) × π
    -0.0955047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30003705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645210266113281 × 2 - 1) × π
    -0.290420532226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.912383010468529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30003705} λ = -0.30003705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912383010468529))-π/2
    2×atan(0.401566146601592)-π/2
    2×0.381855773931081-π/2
    0.763711547862162-1.57079632675     		φ = -0.80708478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30003705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.190857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80708478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.242552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59277 KachelY 84569 -0.30003705 -0.80708478 -17.190857 -46.242552
    Oben rechts KachelX + 1 59278 KachelY 84569 -0.29998912 -0.80708478 -17.188110 -46.242552
    Unten links KachelX 59277 KachelY + 1 84570 -0.30003705 -0.80711793 -17.190857 -46.244451
    Unten rechts KachelX + 1 59278 KachelY + 1 84570 -0.29998912 -0.80711793 -17.188110 -46.244451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80708478--0.80711793) × R
    3.31500000000373e-05 × 6371000     		dl = 211.198650000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80708478--0.80711793) × R
    3.31500000000373e-05 × 6371000     		dr = 211.198650000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30003705--0.29998912) × cos(-0.80708478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.691606956565733 × 6371000     		do = 211.190504219163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30003705--0.29998912) × cos(-0.80711793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69158301280064 × 6371000     		du = 211.183192702449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80708478)-sin(-0.80711793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691606956565733-0.69158301280064)×R²
    abs(-0.29998912--0.30003705)×2.39437650931817e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39437650931817e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39437650931817e-05×40589641000000     		ar = 44602.377296978m²