Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59277 / 59613
↖ ↑ ↗
← S 81.279219°
E145.618286°		 ← 92.62 m → S 81.279219°
E145.623779°		 →
↑
92.63 m
↓
↑
92.63 m
↓
S 81.280052°
E145.618286°		 ← 92.61 m →
8 579 m²		 S 81.280052°
E145.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904502868652344 y=0.909629821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904502868652344 × 216)
    floor (0.904502868652344 × 65536)
    floor (59277.5)     		tx = 59277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909629821777344 × 216)
    floor (0.909629821777344 × 65536)
    floor (59613.5)     		ty = 59613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59277 / 59613 ti = "16/59277/59613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59277/59613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59277 ÷ 216
    59277 ÷ 65536     		x = 0.904495239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59613 ÷ 216
    59613 ÷ 65536     		y = 0.909622192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904495239257812 × 2 - 1) × π
    0.808990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54151854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909622192382812 × 2 - 1) × π
    -0.819244384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57373214060081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54151854} λ = 2.54151854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57373214060081))-π/2
    2×atan(0.076250436371901)-π/2
    2×0.0761031731304005-π/2
    0.152206346260801-1.57079632675     		φ = -1.41858998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54151854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.618286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41858998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.279219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59277 KachelY 59613 2.54151854 -1.41858998 145.618286 -81.279219
    Oben rechts KachelX + 1 59278 KachelY 59613 2.54161442 -1.41858998 145.623779 -81.279219
    Unten links KachelX 59277 KachelY + 1 59614 2.54151854 -1.41860452 145.618286 -81.280052
    Unten rechts KachelX + 1 59278 KachelY + 1 59614 2.54161442 -1.41860452 145.623779 -81.280052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41858998--1.41860452) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dl = 92.6343400000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41858998--1.41860452) × R
    1.45400000000073e-05 × 6371000     		dr = 92.6343400000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54151854-2.54161442) × cos(-1.41858998) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151619338872581 × 6371000     		do = 92.6168975468768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54151854-2.54161442) × cos(-1.41860452) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151604966954087 × 6371000     		du = 92.6081184391947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41858998)-sin(-1.41860452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151619338872581-0.151604966954087)×R²
    abs(2.54161442-2.54151854)×1.43719184934332e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43719184934332e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43719184934332e-05×40589641000000     		ar = 8579.09855392855m²