Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59276 / 59588
↖ ↑ ↗
← S 81.258372°
E145.612793°		 ← 92.83 m → S 81.258372°
E145.618286°		 →
↑
92.83 m
↓
↑
92.83 m
↓
S 81.259207°
E145.612793°		 ← 92.82 m →
8 616 m²		 S 81.259207°
E145.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904487609863281 y=0.909248352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904487609863281 × 216)
    floor (0.904487609863281 × 65536)
    floor (59276.5)     		tx = 59276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909248352050781 × 216)
    floor (0.909248352050781 × 65536)
    floor (59588.5)     		ty = 59588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59276 / 59588 ti = "16/59276/59588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59276/59588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59276 ÷ 216
    59276 ÷ 65536     		x = 0.90447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59588 ÷ 216
    59588 ÷ 65536     		y = 0.90924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90447998046875 × 2 - 1) × π
    0.8089599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54142267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.8184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57133529561981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54142267} λ = 2.54142267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57133529561981))-π/2
    2×atan(0.0764334160469767)-π/2
    2×0.076285092562214-π/2
    0.152570185124428-1.57079632675     		φ = -1.41822614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54142267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.612793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41822614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.258372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59276 KachelY 59588 2.54142267 -1.41822614 145.612793 -81.258372
    Oben rechts KachelX + 1 59277 KachelY 59588 2.54151854 -1.41822614 145.618286 -81.258372
    Unten links KachelX 59276 KachelY + 1 59589 2.54142267 -1.41824071 145.612793 -81.259207
    Unten rechts KachelX + 1 59277 KachelY + 1 59589 2.54151854 -1.41824071 145.618286 -81.259207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41822614--1.41824071) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dl = 92.8254700002997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41822614--1.41824071) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dr = 92.8254700002997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54142267-2.54151854) × cos(-1.41822614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151978962459915 × 6371000     		do = 92.826891567803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54142267-2.54151854) × cos(-1.41824071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151964561692858 × 6371000     		du = 92.8180957554061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41822614)-sin(-1.41824071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151978962459915-0.151964561692858)×R²
    abs(2.54151854-2.54142267)×1.44007670567214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44007670567214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44007670567214e-05×40589641000000     		ar = 8616.29160086962m²