Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59276 / 29701
↖ ↑ ↗
← N 69.652312°
W 17.193603°		 ← 106.20 m → N 69.652312°
W 17.190857°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 69.651357°
W 17.193603°		 ← 106.21 m →
11 279 m²		 N 69.651357°
W 17.190857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452243804931641 y=0.226604461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452243804931641 × 217)
    floor (0.452243804931641 × 131072)
    floor (59276.5)     		tx = 59276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226604461669922 × 217)
    floor (0.226604461669922 × 131072)
    floor (29701.5)     		ty = 29701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59276 / 29701 ti = "17/59276/29701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59276/29701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59276 ÷ 217
    59276 ÷ 131072     		x = 0.452239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29701 ÷ 217
    29701 ÷ 131072     		y = 0.226600646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.09552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30008499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226600646972656 × 2 - 1) × π
    0.546798706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.71781879788471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30008499} λ = -0.30008499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71781879788471))-π/2
    2×atan(5.57236075391881)-π/2
    2×1.39322924838994-π/2
    2.78645849677989-1.57079632675     		φ = 1.21566217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30008499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.193603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21566217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.652312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59276 KachelY 29701 -0.30008499 1.21566217 -17.193603 69.652312
    Oben rechts KachelX + 1 59277 KachelY 29701 -0.30003705 1.21566217 -17.190857 69.652312
    Unten links KachelX 59276 KachelY + 1 29702 -0.30008499 1.21564550 -17.193603 69.651357
    Unten rechts KachelX + 1 59277 KachelY + 1 29702 -0.30003705 1.21564550 -17.190857 69.651357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21566217-1.21564550) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dl = 106.204570001038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21566217-1.21564550) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dr = 106.204570001038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30008499--0.30003705) × cos(1.21566217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347716153755119 × 6371000     		do = 106.201463570541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30008499--0.30003705) × cos(1.21564550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347731783496285 × 6371000     		du = 106.206237295803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21566217)-sin(1.21564550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347716153755119-0.347731783496285)×R²
    abs(-0.30003705--0.30008499)×1.56297411652018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56297411652018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56297411652018e-05×40589641000000     		ar = 11279.3342681207m²