Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59275 / 27287
↖ ↑ ↗
← N 71.836547°
W 17.196350°		 ← 95.21 m → N 71.836547°
W 17.193603°		 →
↑
95.25 m
↓
↑
95.25 m
↓
N 71.835691°
W 17.196350°		 ← 95.21 m →
9 069 m²		 N 71.835691°
W 17.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452236175537109 y=0.208187103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452236175537109 × 217)
    floor (0.452236175537109 × 131072)
    floor (59275.5)     		tx = 59275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208187103271484 × 217)
    floor (0.208187103271484 × 131072)
    floor (27287.5)     		ty = 27287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59275 / 27287 ti = "17/59275/27287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59275/27287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59275 ÷ 217
    59275 ÷ 131072     		x = 0.452232360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27287 ÷ 217
    27287 ÷ 131072     		y = 0.208183288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452232360839844 × 2 - 1) × π
    -0.0955352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30013293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208183288574219 × 2 - 1) × π
    0.583633422851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.83353847356753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30013293} λ = -0.30013293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83353847356753))-π/2
    2×atan(6.2559841743702)-π/2
    2×1.41229029625653-π/2
    2.82458059251307-1.57079632675     		φ = 1.25378427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30013293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.196350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25378427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.836547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59275 KachelY 27287 -0.30013293 1.25378427 -17.196350 71.836547
    Oben rechts KachelX + 1 59276 KachelY 27287 -0.30008499 1.25378427 -17.193603 71.836547
    Unten links KachelX 59275 KachelY + 1 27288 -0.30013293 1.25376932 -17.196350 71.835691
    Unten rechts KachelX + 1 59276 KachelY + 1 27288 -0.30008499 1.25376932 -17.193603 71.835691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25378427-1.25376932) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dl = 95.2464499997327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25378427-1.25376932) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dr = 95.2464499997327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30013293--0.30008499) × cos(1.25378427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.31172889912553 × 6371000     		do = 95.210029694848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30013293--0.30008499) × cos(1.25376932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311743104148435 × 6371000     		du = 95.2143682744806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25378427)-sin(1.25376932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31172889912553-0.311743104148435)×R²
    abs(-0.30008499--0.30013293)×1.42050229051671e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42050229051671e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42050229051671e-05×40589641000000     		ar = 9068.62395014979m²