Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59273 / 39031
↖ ↑ ↗
← N 58.644082°
W 17.201843°		 ← 158.90 m → N 58.644082°
W 17.199097°		 →
↑
158.89 m
↓
↑
158.89 m
↓
N 58.642653°
W 17.201843°		 ← 158.90 m →
25 248 m²		 N 58.642653°
W 17.199097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452220916748047 y=0.297786712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452220916748047 × 217)
    floor (0.452220916748047 × 131072)
    floor (59273.5)     		tx = 59273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297786712646484 × 217)
    floor (0.297786712646484 × 131072)
    floor (39031.5)     		ty = 39031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59273 / 39031 ti = "17/59273/39031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59273/39031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59273 ÷ 217
    59273 ÷ 131072     		x = 0.452217102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39031 ÷ 217
    39031 ÷ 131072     		y = 0.297782897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452217102050781 × 2 - 1) × π
    -0.0955657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30022880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297782897949219 × 2 - 1) × π
    0.404434204101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27056752442959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30022880} λ = -0.30022880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27056752442959))-π/2
    2×atan(3.5628740067301)-π/2
    2×1.29716431995137-π/2
    2.59432863990273-1.57079632675     		φ = 1.02353231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30022880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.201843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02353231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.644082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59273 KachelY 39031 -0.30022880 1.02353231 -17.201843 58.644082
    Oben rechts KachelX + 1 59274 KachelY 39031 -0.30018087 1.02353231 -17.199097 58.644082
    Unten links KachelX 59273 KachelY + 1 39032 -0.30022880 1.02350737 -17.201843 58.642653
    Unten rechts KachelX + 1 59274 KachelY + 1 39032 -0.30018087 1.02350737 -17.199097 58.642653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02353231-1.02350737) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dl = 158.892740000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02353231-1.02350737) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dr = 158.892740000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30022880--0.30018087) × cos(1.02353231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.520352782752773 × 6371000     		do = 158.895982057633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30022880--0.30018087) × cos(1.02350737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.52037408013868 × 6371000     		du = 158.902485470627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02353231)-sin(1.02350737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520352782752773-0.52037408013868)×R²
    abs(-0.30018087--0.30022880)×2.12973859067267e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12973859067267e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12973859067267e-05×40589641000000     		ar = 25247.9346381744m²