Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59271 / 59592
↖ ↑ ↗
← S 81.261711°
E145.585327°		 ← 92.80 m → S 81.261711°
E145.590821°		 →
↑
92.83 m
↓
↑
92.83 m
↓
S 81.262546°
E145.585327°		 ← 92.79 m →
8 614 m²		 S 81.262546°
E145.590821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904411315917969 y=0.909309387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904411315917969 × 216)
    floor (0.904411315917969 × 65536)
    floor (59271.5)     		tx = 59271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909309387207031 × 216)
    floor (0.909309387207031 × 65536)
    floor (59592.5)     		ty = 59592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59271 / 59592 ti = "16/59271/59592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59271/59592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59271 ÷ 216
    59271 ÷ 65536     		x = 0.904403686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59592 ÷ 216
    59592 ÷ 65536     		y = 0.9093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904403686523438 × 2 - 1) × π
    0.808807373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54094330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57171879081677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54094330} λ = 2.54094330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57171879081677))-π/2
    2×atan(0.0764041098187934)-π/2
    2×0.0762559564837004-π/2
    0.152511912967401-1.57079632675     		φ = -1.41828441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54094330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.585327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41828441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.261711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59271 KachelY 59592 2.54094330 -1.41828441 145.585327 -81.261711
    Oben rechts KachelX + 1 59272 KachelY 59592 2.54103918 -1.41828441 145.590821 -81.261711
    Unten links KachelX 59271 KachelY + 1 59593 2.54094330 -1.41829898 145.585327 -81.262546
    Unten rechts KachelX + 1 59272 KachelY + 1 59593 2.54103918 -1.41829898 145.590821 -81.262546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41828441--1.41829898) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dl = 92.8254700002997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41828441--1.41829898) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dr = 92.8254700002997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54094330-2.54103918) × cos(-1.41828441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151921369082067 × 6371000     		do = 92.8013931473463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54094330-2.54103918) × cos(-1.41829898) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151906968186012 × 6371000     		du = 92.7925963386775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41828441)-sin(-1.41829898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151921369082067-0.151906968186012)×R²
    abs(2.54103918-2.54094330)×1.44008960553665e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44008960553665e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44008960553665e-05×40589641000000     		ar = 8613.92465187566m²