Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59271 / 39032
↖ ↑ ↗
← N 58.642653°
W 17.207337°		 ← 158.94 m → N 58.642653°
W 17.204590°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.641223°
W 17.207337°		 ← 158.94 m →
25 264 m²		 N 58.641223°
W 17.204590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452205657958984 y=0.297794342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452205657958984 × 217)
    floor (0.452205657958984 × 131072)
    floor (59271.5)     		tx = 59271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297794342041016 × 217)
    floor (0.297794342041016 × 131072)
    floor (39032.5)     		ty = 39032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59271 / 39032 ti = "17/59271/39032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59271/39032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59271 ÷ 217
    59271 ÷ 131072     		x = 0.452201843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39032 ÷ 217
    39032 ÷ 131072     		y = 0.29779052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452201843261719 × 2 - 1) × π
    -0.0955963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30032468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29779052734375 × 2 - 1) × π
    0.4044189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27051958752997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30032468} λ = -0.30032468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27051958752997))-π/2
    2×atan(3.56270321769006)-π/2
    2×1.29715184764659-π/2
    2.59430369529319-1.57079632675     		φ = 1.02350737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30032468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.207337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02350737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.642653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59271 KachelY 39032 -0.30032468 1.02350737 -17.207337 58.642653
    Oben rechts KachelX + 1 59272 KachelY 39032 -0.30027674 1.02350737 -17.204590 58.642653
    Unten links KachelX 59271 KachelY + 1 39033 -0.30032468 1.02348242 -17.207337 58.641223
    Unten rechts KachelX + 1 59272 KachelY + 1 39033 -0.30027674 1.02348242 -17.204590 58.641223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02350737-1.02348242) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02350737-1.02348242) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30032468--0.30027674) × cos(1.02350737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52037408013868 × 6371000     		do = 158.935638503255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30032468--0.30027674) × cos(1.02348242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.520395385740166 × 6371000     		du = 158.942145782356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02350737)-sin(1.02348242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52037408013868-0.520395385740166)×R²
    abs(-0.30027674--0.30032468)×2.13056014866098e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13056014866098e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13056014866098e-05×40589641000000     		ar = 25264.3620632865m²