Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59271 / 29830
↖ ↑ ↗
← N 69.528755°
W 17.207337°		 ← 106.82 m → N 69.528755°
W 17.204590°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 69.527794°
W 17.207337°		 ← 106.82 m →
11 413 m²		 N 69.527794°
W 17.204590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452205657958984 y=0.227588653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452205657958984 × 217)
    floor (0.452205657958984 × 131072)
    floor (59271.5)     		tx = 59271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227588653564453 × 217)
    floor (0.227588653564453 × 131072)
    floor (29830.5)     		ty = 29830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59271 / 29830 ti = "17/59271/29830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59271/29830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59271 ÷ 217
    59271 ÷ 131072     		x = 0.452201843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29830 ÷ 217
    29830 ÷ 131072     		y = 0.227584838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452201843261719 × 2 - 1) × π
    -0.0955963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30032468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227584838867188 × 2 - 1) × π
    0.544830322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71163493783373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30032468} λ = -0.30032468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71163493783373))-π/2
    2×atan(5.53800837947082)-π/2
    2×1.39215101242774-π/2
    2.78430202485549-1.57079632675     		φ = 1.21350570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30032468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.207337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21350570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.528755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59271 KachelY 29830 -0.30032468 1.21350570 -17.207337 69.528755
    Oben rechts KachelX + 1 59272 KachelY 29830 -0.30027674 1.21350570 -17.204590 69.528755
    Unten links KachelX 59271 KachelY + 1 29831 -0.30032468 1.21348893 -17.207337 69.527794
    Unten rechts KachelX + 1 59272 KachelY + 1 29831 -0.30027674 1.21348893 -17.204590 69.527794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21350570-1.21348893) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21350570-1.21348893) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30032468--0.30027674) × cos(1.21350570) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349737249631072 × 6371000     		do = 106.818758274188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30032468--0.30027674) × cos(1.21348893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349752960519998 × 6371000     		du = 106.823556784065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21350570)-sin(1.21348893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349737249631072-0.349752960519998)×R²
    abs(-0.30027674--0.30032468)×1.57108889263791e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.57108889263791e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.57108889263791e-05×40589641000000     		ar = 11412.9508619814m²