Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59269 / 45511
↖ ↑ ↗
← N 48.094592°
W 17.212830°		 ← 203.99 m → N 48.094592°
W 17.210083°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
N 48.092757°
W 17.212830°		 ← 204 m →
41 616 m²		 N 48.092757°
W 17.210083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452190399169922 y=0.347225189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452190399169922 × 217)
    floor (0.452190399169922 × 131072)
    floor (59269.5)     		tx = 59269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347225189208984 × 217)
    floor (0.347225189208984 × 131072)
    floor (45511.5)     		ty = 45511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59269 / 45511 ti = "17/59269/45511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59269/45511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59269 ÷ 217
    59269 ÷ 131072     		x = 0.452186584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45511 ÷ 217
    45511 ÷ 131072     		y = 0.347221374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452186584472656 × 2 - 1) × π
    -0.0956268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30042055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347221374511719 × 2 - 1) × π
    0.305557250976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.959936414891625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30042055} λ = -0.30042055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959936414891625))-π/2
    2×atan(2.61153041369933)-π/2
    2×1.20510265167375-π/2
    2.4102053033475-1.57079632675     		φ = 0.83940898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30042055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.212830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83940898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.094592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59269 KachelY 45511 -0.30042055 0.83940898 -17.212830 48.094592
    Oben rechts KachelX + 1 59270 KachelY 45511 -0.30037261 0.83940898 -17.210083 48.094592
    Unten links KachelX 59269 KachelY + 1 45512 -0.30042055 0.83937696 -17.212830 48.092757
    Unten rechts KachelX + 1 59270 KachelY + 1 45512 -0.30037261 0.83937696 -17.210083 48.092757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83940898-0.83937696) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83940898-0.83937696) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30042055--0.30037261) × cos(0.83940898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667902808218524 × 6371000     		do = 203.994709448323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30042055--0.30037261) × cos(0.83937696) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66792663871329 × 6371000     		du = 204.001987894822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83940898)-sin(0.83937696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667902808218524-0.66792663871329)×R²
    abs(-0.30037261--0.30042055)×2.38304947661749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38304947661749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38304947661749e-05×40589641000000     		ar = 41615.5448134511m²