Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59269 / 29820
↖ ↑ ↗
← N 69.538358°
W 17.212830°		 ← 106.77 m → N 69.538358°
W 17.210083°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.537399°
W 17.212830°		 ← 106.78 m →
11 394 m²		 N 69.537399°
W 17.210083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452190399169922 y=0.227512359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452190399169922 × 217)
    floor (0.452190399169922 × 131072)
    floor (59269.5)     		tx = 59269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227512359619141 × 217)
    floor (0.227512359619141 × 131072)
    floor (29820.5)     		ty = 29820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59269 / 29820 ti = "17/59269/29820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59269/29820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59269 ÷ 217
    59269 ÷ 131072     		x = 0.452186584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29820 ÷ 217
    29820 ÷ 131072     		y = 0.227508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452186584472656 × 2 - 1) × π
    -0.0956268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30042055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227508544921875 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71211430682993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30042055} λ = -0.30042055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71211430682993))-π/2
    2×atan(5.54066376539263)-π/2
    2×1.39223482020466-π/2
    2.78446964040932-1.57079632675     		φ = 1.21367331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30042055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.212830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21367331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.538358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59269 KachelY 29820 -0.30042055 1.21367331 -17.212830 69.538358
    Oben rechts KachelX + 1 59270 KachelY 29820 -0.30037261 1.21367331 -17.210083 69.538358
    Unten links KachelX 59269 KachelY + 1 29821 -0.30042055 1.21365656 -17.212830 69.537399
    Unten rechts KachelX + 1 59270 KachelY + 1 29821 -0.30037261 1.21365656 -17.210083 69.537399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21367331-1.21365656) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21367331-1.21365656) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30042055--0.30037261) × cos(1.21367331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		do = 106.770797277376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30042055--0.30037261) × cos(1.21365656) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.349595912788213 × 6371000     		du = 106.775590364369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21367331)-sin(1.21365656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349580219654449-0.349595912788213)×R²
    abs(-0.30037261--0.30042055)×1.56931337644828e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56931337644828e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56931337644828e-05×40589641000000     		ar = 11394.2212989771m²