Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59266 / 84582
↖ ↑ ↗
← S 46.267240°
W 17.221069°		 ← 211.14 m → S 46.267240°
W 17.218323°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
S 46.269139°
W 17.221069°		 ← 211.13 m →
44 578 m²		 S 46.269139°
W 17.218323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452167510986328 y=0.645313262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452167510986328 × 217)
    floor (0.452167510986328 × 131072)
    floor (59266.5)     		tx = 59266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645313262939453 × 217)
    floor (0.645313262939453 × 131072)
    floor (84582.5)     		ty = 84582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59266 / 84582 ti = "17/59266/84582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59266/84582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59266 ÷ 217
    59266 ÷ 131072     		x = 0.452163696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84582 ÷ 217
    84582 ÷ 131072     		y = 0.645309448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452163696289062 × 2 - 1) × π
    -0.095672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30056436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645309448242188 × 2 - 1) × π
    -0.290618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.91300619016359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30056436} λ = -0.30056436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91300619016359))-π/2
    2×atan(0.401315976691306)-π/2
    2×0.381640324722548-π/2
    0.763280649445096-1.57079632675     		φ = -0.80751568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30056436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.221069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80751568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.267240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59266 KachelY 84582 -0.30056436 -0.80751568 -17.221069 -46.267240
    Oben rechts KachelX + 1 59267 KachelY 84582 -0.30051642 -0.80751568 -17.218323 -46.267240
    Unten links KachelX 59266 KachelY + 1 84583 -0.30056436 -0.80754882 -17.221069 -46.269139
    Unten rechts KachelX + 1 59267 KachelY + 1 84583 -0.30051642 -0.80754882 -17.218323 -46.269139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80751568--0.80754882) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80751568--0.80754882) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30056436--0.30051642) × cos(-0.80751568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691295664475951 × 6371000     		do = 211.139489881221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30056436--0.30051642) × cos(-0.80754882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691271718060056 × 6371000     		du = 211.132176029426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80751568)-sin(-0.80754882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691295664475951-0.691271718060056)×R²
    abs(-0.30051642--0.30056436)×2.39464158952041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39464158952041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39464158952041e-05×40589641000000     		ar = 44578.1514268997m²