Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59266 / 29820
↖ ↑ ↗
← N 69.538358°
W 17.221069°		 ← 106.77 m → N 69.538358°
W 17.218323°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 69.537399°
W 17.221069°		 ← 106.78 m →
11 394 m²		 N 69.537399°
W 17.218323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452167510986328 y=0.227512359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452167510986328 × 217)
    floor (0.452167510986328 × 131072)
    floor (59266.5)     		tx = 59266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227512359619141 × 217)
    floor (0.227512359619141 × 131072)
    floor (29820.5)     		ty = 29820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59266 / 29820 ti = "17/59266/29820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59266/29820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59266 ÷ 217
    59266 ÷ 131072     		x = 0.452163696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29820 ÷ 217
    29820 ÷ 131072     		y = 0.227508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452163696289062 × 2 - 1) × π
    -0.095672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30056436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227508544921875 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71211430682993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30056436} λ = -0.30056436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71211430682993))-π/2
    2×atan(5.54066376539263)-π/2
    2×1.39223482020466-π/2
    2.78446964040932-1.57079632675     		φ = 1.21367331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30056436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.221069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21367331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.538358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59266 KachelY 29820 -0.30056436 1.21367331 -17.221069 69.538358
    Oben rechts KachelX + 1 59267 KachelY 29820 -0.30051642 1.21367331 -17.218323 69.538358
    Unten links KachelX 59266 KachelY + 1 29821 -0.30056436 1.21365656 -17.221069 69.537399
    Unten rechts KachelX + 1 59267 KachelY + 1 29821 -0.30051642 1.21365656 -17.218323 69.537399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21367331-1.21365656) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dl = 106.714249999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21367331-1.21365656) × R
    1.67499999998988e-05 × 6371000     		dr = 106.714249999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30056436--0.30051642) × cos(1.21367331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		do = 106.770797277253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30056436--0.30051642) × cos(1.21365656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349595912788213 × 6371000     		du = 106.775590364245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21367331)-sin(1.21365656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349580219654449-0.349595912788213)×R²
    abs(-0.30051642--0.30056436)×1.56931337644828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56931337644828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56931337644828e-05×40589641000000     		ar = 11394.2212989639m²