Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59265 / 38743
↖ ↑ ↗
← N 59.053269°
W 17.223816°		 ← 157.06 m → N 59.053269°
W 17.221069°		 →
↑
157.05 m
↓
↑
157.05 m
↓
N 59.051856°
W 17.223816°		 ← 157.07 m →
24 666 m²		 N 59.051856°
W 17.221069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452159881591797 y=0.295589447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452159881591797 × 217)
    floor (0.452159881591797 × 131072)
    floor (59265.5)     		tx = 59265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295589447021484 × 217)
    floor (0.295589447021484 × 131072)
    floor (38743.5)     		ty = 38743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59265 / 38743 ti = "17/59265/38743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59265/38743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59265 ÷ 217
    59265 ÷ 131072     		x = 0.452156066894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38743 ÷ 217
    38743 ÷ 131072     		y = 0.295585632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452156066894531 × 2 - 1) × π
    -0.0956878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30061230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295585632324219 × 2 - 1) × π
    0.408828735351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.28437335152016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30061230} λ = -0.30061230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28437335152016))-π/2
    2×atan(3.61240354060766)-π/2
    2×1.30073514906752-π/2
    2.60147029813504-1.57079632675     		φ = 1.03067397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30061230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.223816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03067397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.053269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59265 KachelY 38743 -0.30061230 1.03067397 -17.223816 59.053269
    Oben rechts KachelX + 1 59266 KachelY 38743 -0.30056436 1.03067397 -17.221069 59.053269
    Unten links KachelX 59265 KachelY + 1 38744 -0.30061230 1.03064932 -17.223816 59.051856
    Unten rechts KachelX + 1 59266 KachelY + 1 38744 -0.30056436 1.03064932 -17.221069 59.051856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03067397-1.03064932) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dl = 157.045150000449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03067397-1.03064932) × R
    2.46500000000704e-05 × 6371000     		dr = 157.045150000449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30061230--0.30056436) × cos(1.03067397) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514240934289445 × 6371000     		do = 157.062417893724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30061230--0.30056436) × cos(1.03064932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.514262075101365 × 6371000     		du = 157.068874841849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03067397)-sin(1.03064932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514240934289445-0.514262075101365)×R²
    abs(-0.30056436--0.30061230)×2.11408119201728e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11408119201728e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11408119201728e-05×40589641000000     		ar = 24666.3979950581m²