Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59262 / 84601
↖ ↑ ↗
← S 46.303303°
W 17.232056°		 ← 211 m → S 46.303303°
W 17.229309°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 46.305201°
W 17.232056°		 ← 210.99 m →
44 522 m²		 S 46.305201°
W 17.229309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452136993408203 y=0.645458221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452136993408203 × 217)
    floor (0.452136993408203 × 131072)
    floor (59262.5)     		tx = 59262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645458221435547 × 217)
    floor (0.645458221435547 × 131072)
    floor (84601.5)     		ty = 84601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59262 / 84601 ti = "17/59262/84601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59262/84601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59262 ÷ 217
    59262 ÷ 131072     		x = 0.452133178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84601 ÷ 217
    84601 ÷ 131072     		y = 0.645454406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452133178710938 × 2 - 1) × π
    -0.095733642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30075611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645454406738281 × 2 - 1) × π
    -0.290908813476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.913916991256371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30075611} λ = -0.30075611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.913916991256371))-π/2
    2×atan(0.400950624068226)-π/2
    2×0.381325611889812-π/2
    0.762651223779624-1.57079632675     		φ = -0.80814510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30075611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.232056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80814510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.303303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59262 KachelY 84601 -0.30075611 -0.80814510 -17.232056 -46.303303
    Oben rechts KachelX + 1 59263 KachelY 84601 -0.30070817 -0.80814510 -17.229309 -46.303303
    Unten links KachelX 59262 KachelY + 1 84602 -0.30075611 -0.80817822 -17.232056 -46.305201
    Unten rechts KachelX + 1 59263 KachelY + 1 84602 -0.30070817 -0.80817822 -17.229309 -46.305201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80814510--0.80817822) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80814510--0.80817822) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30075611--0.30070817) × cos(-0.80814510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.690840726298644 × 6371000     		do = 211.000540052007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30075611--0.30070817) × cos(-0.80817822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.690816779928619 × 6371000     		du = 210.993226214221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80814510)-sin(-0.80817822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690840726298644-0.690816779928619)×R²
    abs(-0.30070817--0.30075611)×2.39463700253406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39463700253406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39463700253406e-05×40589641000000     		ar = 44521.9290417135m²