Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59261 / 84600
↖ ↑ ↗
← S 46.301406°
W 17.234803°		 ← 211.01 m → S 46.301406°
W 17.232056°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 46.303303°
W 17.234803°		 ← 211 m →
44 510 m²		 S 46.303303°
W 17.232056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452129364013672 y=0.645450592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452129364013672 × 217)
    floor (0.452129364013672 × 131072)
    floor (59261.5)     		tx = 59261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645450592041016 × 217)
    floor (0.645450592041016 × 131072)
    floor (84600.5)     		ty = 84600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59261 / 84600 ti = "17/59261/84600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59261/84600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59261 ÷ 217
    59261 ÷ 131072     		x = 0.452125549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84600 ÷ 217
    84600 ÷ 131072     		y = 0.64544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452125549316406 × 2 - 1) × π
    -0.0957489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30080405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.2908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.91386905435675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30080405} λ = -0.30080405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91386905435675))-π/2
    2×atan(0.400969844858734)-π/2
    2×0.381342170557981-π/2
    0.762684341115962-1.57079632675     		φ = -0.80811199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30080405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.234803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80811199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.301406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59261 KachelY 84600 -0.30080405 -0.80811199 -17.234803 -46.301406
    Oben rechts KachelX + 1 59262 KachelY 84600 -0.30075611 -0.80811199 -17.232056 -46.301406
    Unten links KachelX 59261 KachelY + 1 84601 -0.30080405 -0.80814510 -17.234803 -46.303303
    Unten rechts KachelX + 1 59262 KachelY + 1 84601 -0.30075611 -0.80814510 -17.232056 -46.303303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80811199--0.80814510) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80811199--0.80814510) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30080405--0.30075611) × cos(-0.80811199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690864664681021 × 6371000     		do = 211.007851449914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30080405--0.30075611) × cos(-0.80814510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690840726298644 × 6371000     		du = 211.000540051762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80811199)-sin(-0.80814510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690864664681021-0.690840726298644)×R²
    abs(-0.30075611--0.30080405)×2.39383823773531e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39383823773531e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39383823773531e-05×40589641000000     		ar = 44510.028981633m²