Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59260 / 84606
↖ ↑ ↗
← S 46.312790°
W 17.237549°		 ← 210.92 m → S 46.312790°
W 17.234803°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 46.314687°
W 17.237549°		 ← 210.91 m →
44 491 m²		 S 46.314687°
W 17.234803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452121734619141 y=0.645496368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452121734619141 × 217)
    floor (0.452121734619141 × 131072)
    floor (59260.5)     		tx = 59260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645496368408203 × 217)
    floor (0.645496368408203 × 131072)
    floor (84606.5)     		ty = 84606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59260 / 84606 ti = "17/59260/84606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59260/84606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59260 ÷ 217
    59260 ÷ 131072     		x = 0.452117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84606 ÷ 217
    84606 ÷ 131072     		y = 0.645492553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452117919921875 × 2 - 1) × π
    -0.09576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30085198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645492553710938 × 2 - 1) × π
    -0.290985107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.914156675754471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30085198} λ = -0.30085198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914156675754471))-π/2
    2×atan(0.400854533935251)-π/2
    2×0.381242827157314-π/2
    0.762485654314628-1.57079632675     		φ = -0.80831067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30085198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.237549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80831067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.312790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59260 KachelY 84606 -0.30085198 -0.80831067 -17.237549 -46.312790
    Oben rechts KachelX + 1 59261 KachelY 84606 -0.30080405 -0.80831067 -17.234803 -46.312790
    Unten links KachelX 59260 KachelY + 1 84607 -0.30085198 -0.80834378 -17.237549 -46.314687
    Unten rechts KachelX + 1 59261 KachelY + 1 84607 -0.30080405 -0.80834378 -17.234803 -46.314687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80831067--0.80834378) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80831067--0.80834378) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30085198--0.30080405) × cos(-0.80831067) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690721008564614 × 6371000     		do = 210.919969339067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30085198--0.30080405) × cos(-0.80834378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690697065638076 × 6371000     		du = 210.912658078415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80831067)-sin(-0.80834378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690721008564614-0.690697065638076)×R²
    abs(-0.30080405--0.30085198)×2.39429265376234e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39429265376234e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39429265376234e-05×40589641000000     		ar = 44491.4908087662m²