Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59259 / 84612
↖ ↑ ↗
← S 46.324172°
W 17.240295°		 ← 210.92 m → S 46.324172°
W 17.237549°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 46.326068°
W 17.240295°		 ← 210.91 m →
44 478 m²		 S 46.326068°
W 17.237549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452114105224609 y=0.645542144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452114105224609 × 217)
    floor (0.452114105224609 × 131072)
    floor (59259.5)     		tx = 59259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645542144775391 × 217)
    floor (0.645542144775391 × 131072)
    floor (84612.5)     		ty = 84612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59259 / 84612 ti = "17/59259/84612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59259/84612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59259 ÷ 217
    59259 ÷ 131072     		x = 0.452110290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84612 ÷ 217
    84612 ÷ 131072     		y = 0.645538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452110290527344 × 2 - 1) × π
    -0.0957794189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30089992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.29107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914444297152191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30089992} λ = -0.30089992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914444297152191))-π/2
    2×atan(0.400739256172888)-π/2
    2×0.381143504416453-π/2
    0.762287008832906-1.57079632675     		φ = -0.80850932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30089992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.240295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80850932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.324172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59259 KachelY 84612 -0.30089992 -0.80850932 -17.240295 -46.324172
    Oben rechts KachelX + 1 59260 KachelY 84612 -0.30085198 -0.80850932 -17.237549 -46.324172
    Unten links KachelX 59259 KachelY + 1 84613 -0.30089992 -0.80854242 -17.240295 -46.326068
    Unten rechts KachelX + 1 59260 KachelY + 1 84613 -0.30085198 -0.80854242 -17.237549 -46.326068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80850932--0.80854242) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80850932--0.80854242) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30089992--0.30085198) × cos(-0.80850932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69057734688062 × 6371000     		do = 210.920097198112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30089992--0.30085198) × cos(-0.80854242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690553406644367 × 6371000     		du = 210.912785233738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80850932)-sin(-0.80854242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69057734688062-0.690553406644367)×R²
    abs(-0.30085198--0.30089992)×2.39402362526286e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39402362526286e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39402362526286e-05×40589641000000     		ar = 44478.0802193156m²