Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59258 / 39118
↖ ↑ ↗
← N 58.519521°
W 17.243042°		 ← 159.50 m → N 58.519521°
W 17.240295°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.518086°
W 17.243042°		 ← 159.50 m →
25 435 m²		 N 58.518086°
W 17.240295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452106475830078 y=0.298450469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452106475830078 × 217)
    floor (0.452106475830078 × 131072)
    floor (59258.5)     		tx = 59258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298450469970703 × 217)
    floor (0.298450469970703 × 131072)
    floor (39118.5)     		ty = 39118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59258 / 39118 ti = "17/59258/39118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59258/39118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59258 ÷ 217
    59258 ÷ 131072     		x = 0.452102661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39118 ÷ 217
    39118 ÷ 131072     		y = 0.298446655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452102661132812 × 2 - 1) × π
    -0.095794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30094786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298446655273438 × 2 - 1) × π
    0.403106689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26639701416264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30094786} λ = -0.30094786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26639701416264))-π/2
    2×atan(3.54804594588741)-π/2
    2×1.2960773180169-π/2
    2.5921546360338-1.57079632675     		φ = 1.02135831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30094786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.243042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02135831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.519521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59258 KachelY 39118 -0.30094786 1.02135831 -17.243042 58.519521
    Oben rechts KachelX + 1 59259 KachelY 39118 -0.30089992 1.02135831 -17.240295 58.519521
    Unten links KachelX 59258 KachelY + 1 39119 -0.30094786 1.02133328 -17.243042 58.518086
    Unten rechts KachelX + 1 59259 KachelY + 1 39119 -0.30089992 1.02133328 -17.240295 58.518086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02135831-1.02133328) × R
    2.50300000002035e-05 × 6371000     		dl = 159.466130001297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02135831-1.02133328) × R
    2.50300000002035e-05 × 6371000     		dr = 159.466130001297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30094786--0.30089992) × cos(1.02135831) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522208041953665 × 6371000     		do = 159.495777647729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30094786--0.30089992) × cos(1.02133328) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.522229387827846 × 6371000     		du = 159.502297227147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02135831)-sin(1.02133328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522208041953665-0.522229387827846)×R²
    abs(-0.30089992--0.30094786)×2.13458741814554e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13458741814554e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13458741814554e-05×40589641000000     		ar = 25434.6942403894m²