Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59257 / 84602
↖ ↑ ↗
← S 46.305201°
W 17.245788°		 ← 210.95 m → S 46.305201°
W 17.243042°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 46.307098°
W 17.245788°		 ← 210.94 m →
44 498 m²		 S 46.307098°
W 17.243042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452098846435547 y=0.645465850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452098846435547 × 217)
    floor (0.452098846435547 × 131072)
    floor (59257.5)     		tx = 59257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645465850830078 × 217)
    floor (0.645465850830078 × 131072)
    floor (84602.5)     		ty = 84602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59257 / 84602 ti = "17/59257/84602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59257/84602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59257 ÷ 217
    59257 ÷ 131072     		x = 0.452095031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84602 ÷ 217
    84602 ÷ 131072     		y = 0.645462036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452095031738281 × 2 - 1) × π
    -0.0958099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30099579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645462036132812 × 2 - 1) × π
    -0.290924072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.913964928155991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30099579} λ = -0.30099579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.913964928155991))-π/2
    2×atan(0.400931404199082)-π/2
    2×0.381309053795535-π/2
    0.76261810759107-1.57079632675     		φ = -0.80817822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30099579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.245788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80817822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.305201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59257 KachelY 84602 -0.30099579 -0.80817822 -17.245788 -46.305201
    Oben rechts KachelX + 1 59258 KachelY 84602 -0.30094786 -0.80817822 -17.243042 -46.305201
    Unten links KachelX 59257 KachelY + 1 84603 -0.30099579 -0.80821133 -17.245788 -46.307098
    Unten rechts KachelX + 1 59258 KachelY + 1 84603 -0.30094786 -0.80821133 -17.243042 -46.307098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80817822--0.80821133) × R
    3.31100000000584e-05 × 6371000     		dl = 210.943810000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80817822--0.80821133) × R
    3.31100000000584e-05 × 6371000     		dr = 210.943810000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30099579--0.30094786) × cos(-0.80817822) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.690816779928619 × 6371000     		do = 210.949214276951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30099579--0.30094786) × cos(-0.80821133) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.69079284003134 × 6371000     		du = 210.94190394132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80817822)-sin(-0.80821133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690816779928619-0.69079284003134)×R²
    abs(-0.30094786--0.30099579)×2.39398972787797e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39398972787797e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39398972787797e-05×40589641000000     		ar = 44497.6599451169m²