Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59257 / 45481
↖ ↑ ↗
← N 48.149596°
W 17.245788°		 ← 203.73 m → N 48.149596°
W 17.243042°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 48.147763°
W 17.245788°		 ← 203.74 m →
41 523 m²		 N 48.147763°
W 17.243042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452098846435547 y=0.346996307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452098846435547 × 217)
    floor (0.452098846435547 × 131072)
    floor (59257.5)     		tx = 59257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346996307373047 × 217)
    floor (0.346996307373047 × 131072)
    floor (45481.5)     		ty = 45481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59257 / 45481 ti = "17/59257/45481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59257/45481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59257 ÷ 217
    59257 ÷ 131072     		x = 0.452095031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45481 ÷ 217
    45481 ÷ 131072     		y = 0.346992492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452095031738281 × 2 - 1) × π
    -0.0958099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30099579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346992492675781 × 2 - 1) × π
    0.306015014648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.961374521880226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30099579} λ = -0.30099579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961374521880226))-π/2
    2×atan(2.61528877565377)-π/2
    2×1.20558265252948-π/2
    2.41116530505895-1.57079632675     		φ = 0.84036898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30099579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.245788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84036898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.149596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59257 KachelY 45481 -0.30099579 0.84036898 -17.245788 48.149596
    Oben rechts KachelX + 1 59258 KachelY 45481 -0.30094786 0.84036898 -17.243042 48.149596
    Unten links KachelX 59257 KachelY + 1 45482 -0.30099579 0.84033699 -17.245788 48.147763
    Unten rechts KachelX + 1 59258 KachelY + 1 45482 -0.30094786 0.84033699 -17.243042 48.147763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84036898-0.84033699) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dl = 203.808290000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84036898-0.84033699) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dr = 203.808290000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30099579--0.30094786) × cos(0.84036898) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667188021992859 × 6371000     		do = 203.733888787313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30099579--0.30094786) × cos(0.84033699) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667211850661765 × 6371000     		du = 203.741165158022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84036898)-sin(0.84033699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667188021992859-0.667211850661765)×R²
    abs(-0.30094786--0.30099579)×2.38286689063782e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38286689063782e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38286689063782e-05×40589641000000     		ar = 41523.3969847295m²