Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59256 / 82602
↖ ↑ ↗
← S 42.378836°
W 17.248535°		 ← 225.62 m → S 42.378836°
W 17.245788°		 →
↑
225.60 m
↓
↑
225.60 m
↓
S 42.380865°
W 17.248535°		 ← 225.61 m →
50 898 m²		 S 42.380865°
W 17.245788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452091217041016 y=0.630207061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452091217041016 × 217)
    floor (0.452091217041016 × 131072)
    floor (59256.5)     		tx = 59256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630207061767578 × 217)
    floor (0.630207061767578 × 131072)
    floor (82602.5)     		ty = 82602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59256 / 82602 ti = "17/59256/82602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59256/82602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59256 ÷ 217
    59256 ÷ 131072     		x = 0.45208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82602 ÷ 217
    82602 ÷ 131072     		y = 0.630203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.0958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30104373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.260406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.818091128915878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30104373} λ = -0.30104373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818091128915878))-π/2
    2×atan(0.441273184686602)-π/2
    2×0.415573049962959-π/2
    0.831146099925917-1.57079632675     		φ = -0.73965023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30104373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.248535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73965023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.378836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59256 KachelY 82602 -0.30104373 -0.73965023 -17.248535 -42.378836
    Oben rechts KachelX + 1 59257 KachelY 82602 -0.30099579 -0.73965023 -17.245788 -42.378836
    Unten links KachelX 59256 KachelY + 1 82603 -0.30104373 -0.73968564 -17.248535 -42.380865
    Unten rechts KachelX + 1 59257 KachelY + 1 82603 -0.30099579 -0.73968564 -17.245788 -42.380865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73965023--0.73968564) × R
    3.5410000000069e-05 × 6371000     		dl = 225.59711000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73965023--0.73968564) × R
    3.5410000000069e-05 × 6371000     		dr = 225.59711000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30104373--0.30099579) × cos(-0.73965023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738704359235858 × 6371000     		do = 225.619325560951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30104373--0.30099579) × cos(-0.73968564) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.738680491385449 × 6371000     		du = 225.612035705078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73965023)-sin(-0.73968564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738704359235858-0.738680491385449)×R²
    abs(-0.30099579--0.30104373)×2.38678504086431e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38678504086431e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38678504086431e-05×40589641000000     		ar = 50898.2455269661m²