Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59256 / 59576
↖ ↑ ↗
← S 81.248348°
E145.502929°		 ← 92.94 m → S 81.248348°
E145.508423°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 81.249184°
E145.502929°		 ← 92.93 m →
8 639 m²		 S 81.249184°
E145.508423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904182434082031 y=0.909065246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904182434082031 × 216)
    floor (0.904182434082031 × 65536)
    floor (59256.5)     		tx = 59256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909065246582031 × 216)
    floor (0.909065246582031 × 65536)
    floor (59576.5)     		ty = 59576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59256 / 59576 ti = "16/59256/59576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59256/59576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59256 ÷ 216
    59256 ÷ 65536     		x = 0.9041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59576 ÷ 216
    59576 ÷ 65536     		y = 0.9090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9041748046875 × 2 - 1) × π
    0.808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.53950519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57018481002893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53950519} λ = 2.53950519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57018481002893))-π/2
    2×atan(0.076521402194493)-π/2
    2×0.0763725670891775-π/2
    0.152745134178355-1.57079632675     		φ = -1.41805119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53950519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41805119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.248348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59256 KachelY 59576 2.53950519 -1.41805119 145.502929 -81.248348
    Oben rechts KachelX + 1 59257 KachelY 59576 2.53960107 -1.41805119 145.508423 -81.248348
    Unten links KachelX 59256 KachelY + 1 59577 2.53950519 -1.41806578 145.502929 -81.249184
    Unten rechts KachelX + 1 59257 KachelY + 1 59577 2.53960107 -1.41806578 145.508423 -81.249184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41805119--1.41806578) × R
    1.45900000001475e-05 × 6371000     		dl = 92.95289000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41805119--1.41806578) × R
    1.45900000001475e-05 × 6371000     		dr = 92.95289000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53950519-2.53960107) × cos(-1.41805119) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152151877866504 × 6371000     		do = 92.9421997794722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53950519-2.53960107) × cos(-1.41806578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15213745771986 × 6371000     		du = 92.9333912115529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41805119)-sin(-1.41806578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152151877866504-0.15213745771986)×R²
    abs(2.53960107-2.53950519)×1.44201466440175e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44201466440175e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44201466440175e-05×40589641000000     		ar = 8638.83668168117m²