Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59255 / 39123
↖ ↑ ↗
← N 58.512348°
W 17.251282°		 ← 159.53 m → N 58.512348°
W 17.248535°		 →
↑
159.53 m
↓
↑
159.53 m
↓
N 58.510914°
W 17.251282°		 ← 159.53 m →
25 450 m²		 N 58.510914°
W 17.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452083587646484 y=0.298488616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452083587646484 × 217)
    floor (0.452083587646484 × 131072)
    floor (59255.5)     		tx = 59255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298488616943359 × 217)
    floor (0.298488616943359 × 131072)
    floor (39123.5)     		ty = 39123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59255 / 39123 ti = "17/59255/39123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59255/39123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59255 ÷ 217
    59255 ÷ 131072     		x = 0.452079772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39123 ÷ 217
    39123 ÷ 131072     		y = 0.298484802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452079772949219 × 2 - 1) × π
    -0.0958404541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30109167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298484802246094 × 2 - 1) × π
    0.403030395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.26615732966454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30109167} λ = -0.30109167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26615732966454))-π/2
    2×atan(3.54719563618274)-π/2
    2×1.29601472903416-π/2
    2.59202945806833-1.57079632675     		φ = 1.02123313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30109167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.251282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02123313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.512348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59255 KachelY 39123 -0.30109167 1.02123313 -17.251282 58.512348
    Oben rechts KachelX + 1 59256 KachelY 39123 -0.30104373 1.02123313 -17.248535 58.512348
    Unten links KachelX 59255 KachelY + 1 39124 -0.30109167 1.02120809 -17.251282 58.510914
    Unten rechts KachelX + 1 59256 KachelY + 1 39124 -0.30104373 1.02120809 -17.248535 58.510914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02123313-1.02120809) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dl = 159.529839999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02123313-1.02120809) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dr = 159.529839999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30109167--0.30104373) × cos(1.02123313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.522314793635249 × 6371000     		do = 159.528382358889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30109167--0.30104373) × cos(1.02120809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.522336146400415 × 6371000     		du = 159.53490404299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02123313)-sin(1.02120809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522314793635249-0.522336146400415)×R²
    abs(-0.30104373--0.30109167)×2.13527651662382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13527651662382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13527651662382e-05×40589641000000     		ar = 25450.057516016m²