Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59254 / 59561
↖ ↑ ↗
← S 81.235803°
E145.491944°		 ← 93.06 m → S 81.235803°
E145.497436°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 81.236639°
E145.491944°		 ← 93.06 m →
8 656 m²		 S 81.236639°
E145.497436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904151916503906 y=0.908836364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904151916503906 × 216)
    floor (0.904151916503906 × 65536)
    floor (59254.5)     		tx = 59254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908836364746094 × 216)
    floor (0.908836364746094 × 65536)
    floor (59561.5)     		ty = 59561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59254 / 59561 ti = "16/59254/59561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59254/59561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59254 ÷ 216
    59254 ÷ 65536     		x = 0.904144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59561 ÷ 216
    59561 ÷ 65536     		y = 0.908828735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904144287109375 × 2 - 1) × π
    0.80828857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53931345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908828735351562 × 2 - 1) × π
    -0.817657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56874670304033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53931345} λ = 2.53931345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56874670304033))-π/2
    2×atan(0.0766315273246466)-π/2
    2×0.0764820502151042-π/2
    0.152964100430208-1.57079632675     		φ = -1.41783223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53931345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.491944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41783223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.235803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59254 KachelY 59561 2.53931345 -1.41783223 145.491944 -81.235803
    Oben rechts KachelX + 1 59255 KachelY 59561 2.53940932 -1.41783223 145.497436 -81.235803
    Unten links KachelX 59254 KachelY + 1 59562 2.53931345 -1.41784683 145.491944 -81.236639
    Unten rechts KachelX + 1 59255 KachelY + 1 59562 2.53940932 -1.41784683 145.497436 -81.236639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41783223--1.41784683) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dl = 93.0166000005528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41783223--1.41784683) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dr = 93.0166000005528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53931345-2.53940932) × cos(-1.41783223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152368284893466 × 6371000     		do = 93.064684948803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53931345-2.53940932) × cos(-1.41784683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152353855349953 × 6371000     		du = 93.0558715600986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41783223)-sin(-1.41784683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152368284893466-0.152353855349953)×R²
    abs(2.53940932-2.53931345)×1.44295435129949e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44295435129949e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44295435129949e-05×40589641000000     		ar = 8656.15067833636m²