Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59253 / 59556
↖ ↑ ↗
← S 81.231617°
E145.486450°		 ← 93.12 m → S 81.231617°
E145.491944°		 →
↑
93.08 m
↓
↑
93.08 m
↓
S 81.232454°
E145.486450°		 ← 93.11 m →
8 667 m²		 S 81.232454°
E145.491944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904136657714844 y=0.908760070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904136657714844 × 216)
    floor (0.904136657714844 × 65536)
    floor (59253.5)     		tx = 59253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908760070800781 × 216)
    floor (0.908760070800781 × 65536)
    floor (59556.5)     		ty = 59556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59253 / 59556 ti = "16/59253/59556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59253/59556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59253 ÷ 216
    59253 ÷ 65536     		x = 0.904129028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59556 ÷ 216
    59556 ÷ 65536     		y = 0.90875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904129028320312 × 2 - 1) × π
    0.808258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53921757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.8175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56826733404413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53921757} λ = 2.53921757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56826733404413))-π/2
    2×atan(0.0766682709091415)-π/2
    2×0.0765185791843381-π/2
    0.153037158368676-1.57079632675     		φ = -1.41775917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53921757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.486450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41775917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.231617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59253 KachelY 59556 2.53921757 -1.41775917 145.486450 -81.231617
    Oben rechts KachelX + 1 59254 KachelY 59556 2.53931345 -1.41775917 145.491944 -81.231617
    Unten links KachelX 59253 KachelY + 1 59557 2.53921757 -1.41777378 145.486450 -81.232454
    Unten rechts KachelX + 1 59254 KachelY + 1 59557 2.53931345 -1.41777378 145.491944 -81.232454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41775917--1.41777378) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dl = 93.0803100001656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41775917--1.41777378) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dr = 93.0803100001656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53921757-2.53931345) × cos(-1.41775917) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152440491422546 × 6371000     		do = 93.1184997973287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53921757-2.53931345) × cos(-1.41777378) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152426052158443 × 6371000     		du = 93.1096795514811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41775917)-sin(-1.41777378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152440491422546-0.152426052158443)×R²
    abs(2.53931345-2.53921757)×1.44392641033275e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44392641033275e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44392641033275e-05×40589641000000     		ar = 8667.08833237842m²