Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59252 / 59558
↖ ↑ ↗
← S 81.233292°
E145.480957°		 ← 93.09 m → S 81.233292°
E145.486450°		 →
↑
93.08 m
↓
↑
93.08 m
↓
S 81.234129°
E145.480957°		 ← 93.08 m →
8 665 m²		 S 81.234129°
E145.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904121398925781 y=0.908790588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904121398925781 × 216)
    floor (0.904121398925781 × 65536)
    floor (59252.5)     		tx = 59252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908790588378906 × 216)
    floor (0.908790588378906 × 65536)
    floor (59558.5)     		ty = 59558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59252 / 59558 ti = "16/59252/59558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59252/59558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59252 ÷ 216
    59252 ÷ 65536     		x = 0.90411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59558 ÷ 216
    59558 ÷ 65536     		y = 0.908782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90411376953125 × 2 - 1) × π
    0.8082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53912170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.81756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56845908164261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53912170} λ = 2.53912170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56845908164261))-π/2
    2×atan(0.0766535713616616)-π/2
    2×0.0765039655198569-π/2
    0.153007931039714-1.57079632675     		φ = -1.41778840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53912170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41778840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.233292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59252 KachelY 59558 2.53912170 -1.41778840 145.480957 -81.233292
    Oben rechts KachelX + 1 59253 KachelY 59558 2.53921757 -1.41778840 145.486450 -81.233292
    Unten links KachelX 59252 KachelY + 1 59559 2.53912170 -1.41780301 145.480957 -81.234129
    Unten rechts KachelX + 1 59253 KachelY + 1 59559 2.53921757 -1.41780301 145.486450 -81.234129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41778840--1.41780301) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dl = 93.0803100001656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41778840--1.41780301) × R
    1.4610000000026e-05 × 6371000     		dr = 93.0803100001656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53912170-2.53921757) × cos(-1.41778840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152411602978633 × 6371000     		do = 93.0911431054426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53912170-2.53921757) × cos(-1.41780301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152397163649439 × 6371000     		du = 93.082323739764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41778840)-sin(-1.41780301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152411602978633-0.152397163649439)×R²
    abs(2.53921757-2.53912170)×1.44393291938161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44393291938161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44393291938161e-05×40589641000000     		ar = 8664.54200410626m²