Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59251 / 59569
↖ ↑ ↗
← S 81.242496°
E145.475464°		 ← 92.99 m → S 81.242496°
E145.480957°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 81.243332°
E145.475464°		 ← 92.99 m →
8 644 m²		 S 81.243332°
E145.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904106140136719 y=0.908958435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904106140136719 × 216)
    floor (0.904106140136719 × 65536)
    floor (59251.5)     		tx = 59251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908958435058594 × 216)
    floor (0.908958435058594 × 65536)
    floor (59569.5)     		ty = 59569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59251 / 59569 ti = "16/59251/59569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59251/59569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59251 ÷ 216
    59251 ÷ 65536     		x = 0.904098510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59569 ÷ 216
    59569 ÷ 65536     		y = 0.908950805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904098510742188 × 2 - 1) × π
    0.808197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.53902583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908950805664062 × 2 - 1) × π
    -0.817901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56951369343425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53902583} λ = 2.53902583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56951369343425))-π/2
    2×atan(0.0765727742137332)-π/2
    2×0.0764236398497768-π/2
    0.152847279699554-1.57079632675     		φ = -1.41794905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53902583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.475464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41794905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.242496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59251 KachelY 59569 2.53902583 -1.41794905 145.475464 -81.242496
    Oben rechts KachelX + 1 59252 KachelY 59569 2.53912170 -1.41794905 145.480957 -81.242496
    Unten links KachelX 59251 KachelY + 1 59570 2.53902583 -1.41796364 145.475464 -81.243332
    Unten rechts KachelX + 1 59252 KachelY + 1 59570 2.53912170 -1.41796364 145.480957 -81.243332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41794905--1.41796364) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41794905--1.41796364) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53902583-2.53912170) × cos(-1.41794905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152252827869383 × 6371000     		do = 92.9941652105321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53902583-2.53912170) × cos(-1.41796364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152238407949544 × 6371000     		du = 92.98535769985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41794905)-sin(-1.41796364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152252827869383-0.152238407949544)×R²
    abs(2.53912170-2.53902583)×1.4419919839137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4419919839137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4419919839137e-05×40589641000000     		ar = 8643.66706769434m²