Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59250 / 59568
↖ ↑ ↗
← S 81.241660°
E145.469971°		 ← 93.01 m → S 81.241660°
E145.475464°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 81.242496°
E145.469971°		 ← 93 m →
8 651 m²		 S 81.242496°
E145.475464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904090881347656 y=0.908943176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904090881347656 × 216)
    floor (0.904090881347656 × 65536)
    floor (59250.5)     		tx = 59250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908943176269531 × 216)
    floor (0.908943176269531 × 65536)
    floor (59568.5)     		ty = 59568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59250 / 59568 ti = "16/59250/59568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59250/59568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59250 ÷ 216
    59250 ÷ 65536     		x = 0.904083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59568 ÷ 216
    59568 ÷ 65536     		y = 0.908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904083251953125 × 2 - 1) × π
    0.80816650390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53892995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908935546875 × 2 - 1) × π
    -0.81787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56941781963501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53892995} λ = 2.53892995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56941781963501))-π/2
    2×atan(0.0765801158884469)-π/2
    2×0.0764309387242414-π/2
    0.152861877448483-1.57079632675     		φ = -1.41793445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53892995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41793445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.241660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59250 KachelY 59568 2.53892995 -1.41793445 145.469971 -81.241660
    Oben rechts KachelX + 1 59251 KachelY 59568 2.53902583 -1.41793445 145.475464 -81.241660
    Unten links KachelX 59250 KachelY + 1 59569 2.53892995 -1.41794905 145.469971 -81.242496
    Unten rechts KachelX + 1 59251 KachelY + 1 59569 2.53902583 -1.41794905 145.475464 -81.242496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41793445--1.41794905) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dl = 93.0166000005528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41793445--1.41794905) × R
    1.46000000000868e-05 × 6371000     		dr = 93.0166000005528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53892995-2.53902583) × cos(-1.41793445) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152267257640206 × 6371000     		do = 93.0126796850001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53892995-2.53902583) × cos(-1.41794905) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152252827869383 × 6371000     		du = 93.0038652381367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41793445)-sin(-1.41794905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152267257640206-0.152252827869383)×R²
    abs(2.53902583-2.53892995)×1.442977082311e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.442977082311e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.442977082311e-05×40589641000000     		ar = 8651.31327669544m²